Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，點M、N在直線BD上，點M在N點左側(cè)，AM∥CN．

（1）如圖1，求證：BM=DN；
（2）如圖2，當∠ABC=90°，點M，N在線段BD上時，求證：BM+BN= AB；
（3）如圖3，當∠ABC=60°，點M在線段DB的延長線上時，直接寫出BM，BN，AB三者的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四邊形ABCD為菱形，

∴AB=CD，AB∥CD．

∴∠ABM=∠CDN．

∵AM∥CN，

∴∠AMN=∠MNC．

∴∠AMB=∠CND．

在△AMB和△CND中，

∴△AMB≌△CND．

∴MB=DN

（2）

解：由（1）得BM=DN．

∴BN+BM=DB．

當∠ABC=90°時，由勾股定理得；BD= = = AB．

∴MB+BN= AB

（3）

解：NB﹣BM= AB．

如圖1所示：過點A作AE⊥MN，垂足為E．

由（1）得BM=DN．

又∵BD=BN﹣DN，

∴BD=BN﹣BM．

當∠ABC=60°時，∠ABE=30°，

又∵∠AEB=90°，

∴AE= AB．

∴在Rt△ABE中，BE= = = AB．

∵AB=AD，AE⊥BD，

∴BE=ED．

∴BD= AB．

∴BN﹣BM= AB．

由勾股定理得；BD= = = AB．

∴MB+BN= AB

【解析】（1）由菱形的性質(zhì)可知AB=CD，AB∥CD，然后由平行線的性質(zhì)和補角的性質(zhì)∠ABM=∠CDN，∠AMB=∠CND，接下來依據(jù)AAS證明△AMB≌△CND，由全等三角形的性質(zhì)可得到MB=DN；（2）由（1）得BM=DN，故此可得到BN+BM=DB，當∠ABC=90°時，在Rt△ABD中，由勾股定理可求得BD與AB的關(guān)系，從而得到BM+BN= AB；（3）過點A作AE⊥MN，垂足為E．由BM=DN可證明BD=BN﹣BM，當∠ABC=60°時，∠ABE=30°在Rt△ABE中，依據(jù)勾股定理可求得BE與AB的關(guān)系，然后再依據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得到AB與BD的關(guān)系，于是得到BM，BN，AB三者的數(shù)量關(guān)系．
【考點精析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半才能正確解答此題．