Question

如圖1，在△ABC中，AB=BC，P為AB邊上一點(diǎn)，連接CP，以PA、PC為鄰邊作平行四邊形APCD，AC與PD相交于點(diǎn)E，已知∠ABC=∠AEP=α，（0°＜α＜90°）．

（1）求證：∠EAP=∠EPA；
（2）平行四邊形APCD是否為矩形？請(qǐng)說明理由；
（3）如圖2，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，連接FP，過點(diǎn)E的射線EM、EN分別交BA、FP延長(zhǎng)線于點(diǎn)M、N，且∠MEN=∠AEP．猜想線段EM與EN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）由AB=BC就可以得出∠BAC=∠BCA，有∠ABC=∠AEP，就可以得出△AEP∽△ABC，就可以得出∠APE=∠ACB，進(jìn)而得出結(jié)論；
（2）由∠EAP=∠EPA就可以得出AE=PE，由平行四邊形的性質(zhì)就可以得出AC=PD，就可以得出結(jié)論；
（3）由矩形的性質(zhì)就可以得出PE=CE，∠CPB=90°，得出∠EPC=∠ECP，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)就可以得出CF=PF，得出∠CPF=∠PCF，就可以得出∠EPF=∠ECF，得出∠EPF=∠EAP，就得出∠EPN=∠EAM，由∠MEN=∠AEP就可以得出∠PEN=∠AEM，得出△PEN≌△AEM，從而得出EN=EM．

解答：解：（1）證明：如圖1，∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA．
在△AEP和△ABC中

∠EAP=∠CAB ∠AEP=∠ABC

，
∴△AEP∽△ABC
∴∠APE=∠ACB，
∴∠APE=∠BAC，
即∠EAP=∠EPA；
（2）平行四邊形APCD是矩形
理由：如圖1，∵∠EAP=∠EPA，
∴AE=PE，
∴2AE=2PE．
∵四邊形APCD是平行四邊形，
∴AC=2AE，PD=2PE，
∴AC=PD．
∴平行四邊形APCD是矩形；
（3）EM=EN．
理由：如圖2，∵四邊形APCD是矩形，
∴PE=CE，∠CPB=90°，
∴∠EPC=∠ECP，∠CPB=90°．
∵F為BC的中點(diǎn)，
∴CF=PF=

1

2

BC，
∴∠CPF=∠PCF，
∴∠CPF+∠EPC=∠PCF+∠ECP，
∴∠EPF=∠ECF，
∴∠EPF=∠EAP，
∴∠EPN=∠EAM．
∵∠MEN=∠AEP，
∴∠MEN-∠AEN=∠AEP-∠AEN，
∴∠AEM=∠PEN．
在△PEN和△AEM中

∠PEN=∠AEM PE=AE ∠PEN=∠AEM

，
∴△PEN≌△AEM（ASA），
∴EN=EM．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，矩形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)額運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用矩形的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．