Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Rt△OCD的一邊OC在x軸上，∠OCD=90°，點D在第一象限，OC=3，DC=4，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過OD的中點A．
（1）求該反比例函數(shù)的解析式．
（2）若該反比例函數(shù)的圖象與Rt△OCD的另一邊DC交于點B，在x軸上求一點P，使PA+PB最小，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：

分析：（1）根據(jù)線段的中點坐標(biāo)的求法（線段中點的橫縱坐標(biāo)分別是線段2個端點的橫縱坐標(biāo)的和的一半）易得點A坐標(biāo)，設(shè)出反比例函數(shù)的解析式，把A點坐標(biāo)代入即可；
（2）先由點B，D的橫坐標(biāo)相等，代入（1）中反比例函數(shù)的解析式中，求出點B的坐標(biāo)，再作點B關(guān)于x軸的對稱點B′，連結(jié)AB′，交x軸于點P，則此時PA+PB最�。�運用待定系數(shù)法求出直線AB′的解析式，令y=0，求出x的值，即可得到點P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵∠OCD=90°，點D在第一象限，OC=3，DC=4，
∴D（3，4），
∵OD的中點為點A，
∴A（1.5，2）；
設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=

k

x

，
那么k=1.5×2=3，
∴該反比例函數(shù)的解析式為y=

3

x

；

（2）∵y=

3

x

，
∴當(dāng)x=3時，y=1，
∴B（3，1）．
如圖，作點B關(guān)于x軸的對稱點B′，連結(jié)AB′，交x軸于點P，則此時PA+PB最小．
設(shè)直線AB′的解析式為y=mx+n，
∵A（1.5，2），B′（3，-1），
∴

1.5m+n=2 3m+n=-1

，
解得：

m=-2 n=5

，
∴y=-2x+5，
當(dāng)y=0時，-2x+5=0，解得x=2.5，
∴點P坐標(biāo)為（2.5，0）．

點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，線段中點坐標(biāo)公式，運用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，軸對稱的性質(zhì)，難度適中．運用數(shù)形結(jié)合與方程思想是解題的關(guān)鍵．