【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系xOy中,矩形OABC的頂點A,C分別在x軸,y軸的正半軸上,且點C的坐標(biāo)是(0,1),點B的坐標(biāo)是(,1),拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點B和點C.
(1)求拋物線y=﹣x2+bx+c的表達(dá)式:
(2)將△OAC沿直線AC折疊,點O的對稱點記為點D,請判斷:點D是否在拋物線上?并說明理由;
(3)點E為線段AC上的一個動點.
①若點P在拋物線上,其橫坐標(biāo)為m,當(dāng)PE⊥AC且PE=時.請直接寫出m的值;
②若點F為線段AB上一個動點,且CE=AF,當(dāng)OE+OF的值最小時,請直接寫出點F的坐標(biāo).
【答案】(1)y=﹣x2+x+l;(2)不在;(3)①m=2±2或;②
【解析】
(1)將點B、C坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式,即可求解;
(2)不在,理由:利用△CDG∽△DHA,求得點D的坐標(biāo)是(,),即可求解;
(3)①設(shè)點P的坐標(biāo)為(m,﹣m2+m+1),點E(n,﹣n+1),利用EH=|﹣n+1+m2﹣m﹣1|=1,PH=|m﹣n|=,即可求解;
②將矩形ABCO圍繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°至矩形O′A′B′C,則圖示位置為圖象旋轉(zhuǎn)后的位置,當(dāng)B′、E、O三點共線時,OE+OF=OB′最小,即可求解.
解:(1)將點B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得:1=﹣3+b+1,解得:b=,
故二次函數(shù)表達(dá)式為:y=﹣x2+x+l;
(2)不在,理由:
過點D作x軸的平行線分別交AB的延長線和y軸于點G、H,
∴∠CDA=90°,∠GDC+HDA∠=90°,∠HDA+∠DAH=90°,
∴∠DAH=∠GDC,
∴△CDG∽△DHA,
∴,
解得:DG=,HA=,故:點D的坐標(biāo)是(,),
將代入拋物線表達(dá)式,則y=≠所以點D不在拋物線上;
(3)①∵PE⊥AC,∴∠PEH+∠HEA=90°,∠HEA+∠EAO=90°,
∴∠PEH=∠CAO=α,
點B的坐標(biāo)是(,1),tan∠ABC==tanα,即:∠ABC=30°=α,
PH=PEsinα=,EH=1,
把點AC的表達(dá)式為:y=kx+1,把點A坐標(biāo)代入并求解得:
直線AC的表達(dá)式為:y=﹣x+1,
設(shè)點P的坐標(biāo)為(m,﹣m2+m+1),點E(n,﹣n+1),
EH=|﹣n+1+m2﹣m﹣1|=1…①,
PH=|m﹣n|=…②,
聯(lián)立①②并解得:m=2±2或;
②∵∠ABC=30°,∴△O′OC為等邊三角形,
將矩形ABCO圍繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°至矩形O′A′B′C,則圖示位置為圖象旋轉(zhuǎn)后的位置,
連接O′F′、B′E、OE,∵CE=AF=A′F′,
∴四邊形O′F′B′E為平行四邊形,
∴OE+OF=OE+B′E,故:當(dāng)B′、E、O三點共線時,OE+OF=OB′最小,
旋轉(zhuǎn)后點B′O′與x軸垂直,則yB′=AB+A′C=+=,同理xB′=,
即點B′(,),
則直線OB′的表達(dá)式為:y=x,
同理可得直線AC的表達(dá)式為:y=﹣x+1,
以上兩式聯(lián)立并求解得:x=,y=,
即點E(,),
同理可得點.
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【題目】已知,內(nèi)接于,點是弧的中點,連接、;
(1)如圖1,若,求證:;
(2)如圖2,若平分,求證:;
(3)在(2)的條件下,若,,求的值.
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【題目】下列說法正確的是( )
A. “任意畫一個三角形,其內(nèi)角和為”是隨機事件;
B. 某種彩票的中獎率是,說明每買100張彩票,一定有1張中獎;
C. “籃球隊員在罰球線上投籃一次,投中”為隨機事件;
D. 投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次,正面向上的次數(shù)一定是50次.
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【題目】如圖,在小山的東側(cè)A點有一個熱氣球,由于受風(fēng)的影響,以30米/分的速度沿與地面成75°角的方向飛行,25分鐘后到達(dá)C處,此時熱氣球上的人測得小山西側(cè)B點的俯角為30°,則小山東西兩側(cè)A,B兩點間的距離為( 。┟祝
A. 750 B. 375 C. 375 D. 750
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【題目】我們知道不等式的兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),不等號的方向不變.不等式組是否也具有類似的性質(zhì)呢?請解答下列問題.
(1)完成下列填空:
已知 | 用“<”或“>”填空 |
5+2_____3+1 | |
﹣3﹣1_____﹣5﹣2 | |
1﹣2_____4+1 |
(2)一般地,如果那么a+c_____b+d(用“<”或“>”填空).請你說明上述性質(zhì)的正確性.
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【題目】目前節(jié)能燈在城市已基本普及,今年山東省面向縣級及農(nóng)村地區(qū)推廣節(jié)能燈,為響應(yīng)號召,某商場計劃購進甲、乙兩種節(jié)能燈共1200只,這兩種節(jié)能燈的進價、售價如下表:
進價(元/只) | 售價(元/只) | |
甲 | 25 | 30 |
乙 | 45 | 60 |
(1)如何進貨,進貨款恰好為46000元?
(2)如何進貨,商場銷售完節(jié)能燈時獲利最多且不超過進貨價的30%,此時利潤為多少元?
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【題目】小方與小輝在玩軍棋游戲,他們定義了一種新的規(guī)則,用軍棋中的“工兵”、“連長”、“地雷”比較大小,共有6個棋子,分別為1個“工兵”,2個“連長”,3個“地雷”游戲規(guī)則如下:①游戲時,將棋反面朝上,兩人隨機各摸一個棋子進行比賽,先摸者摸出的棋不放回;②“工兵”勝“地雷”,“地雷”勝“連長”,“連長”勝“工兵”;③相同棋子不分勝負(fù).
(1)若小方先摸,則小方摸到“排長”的事件是 ;若小方先摸到了“連長”,小輝在剩余的5個棋子中隨機摸一個,則這一輪中小方勝小輝的概率為 .
(2)如果先拿走一個“連長”,在剩余的5個棋子中小方先摸一個棋子,然后小輝在剩余的4個棋子中隨機摸一個,求這一輪中小方獲勝的概率 .
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【題目】(8分)如圖,△ABC各頂點的坐標(biāo)分別是A(﹣2,﹣4),B(0,﹣4),C(1,﹣1).
(1)在圖中畫出△ABC向左平移3個單位后的△A1B1C1;
(2)在圖中畫出△ABC繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2;
(3)在(2)的條件下,AC邊掃過的面積是 .
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+2x+c(a<0)與x軸交于點A和點B(點A在原點的左側(cè),點B在原點的右側(cè)),與y軸交于點C,OB=OC=3.
(1)求該拋物線的函數(shù)解析式.
(2)如圖1,連接BC,點D是直線BC上方拋物線上的點,連接OD,CD.OD交BC于點F,當(dāng)S△COF:S△CDF=3:2時,求點D的坐標(biāo).
(3)如圖2,點E的坐標(biāo)為(0,),點P是拋物線上的點,連接EB,PB,PE形成的△PBE中,是否存在點P,使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE?若存在,請直接寫出符合條件的點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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