Question

【題目】在平面中，給定線段AB和C，P兩點(diǎn)，點(diǎn)C與點(diǎn)P分布在線段AB的異側(cè)，滿足，則稱點(diǎn)C與點(diǎn)P是關(guān)于線段AB的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，．

（1）在，，三個(gè)點(diǎn)中，點(diǎn)O與點(diǎn)P是關(guān)于線段AB的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的是________；

（2）若點(diǎn)C與點(diǎn)P是關(guān)于線段OA的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)m的取值范圍；

（3）直線與x軸，y軸分別交與點(diǎn)E，F，若在線段AB上存在點(diǎn)P與點(diǎn)O是關(guān)于線段EF的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，直接寫出b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）P1， P3；（2）-≤m<0；（3）1≤b<2

【解析】

（1）分別求出∠AP1B，∠AP2B，∠AP3B，當(dāng)所求角等于90°時(shí)即為點(diǎn)O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；

（2）根據(jù)題意確定點(diǎn)O、A、C、P四邊共圓，故點(diǎn)P在劣弧OA上，當(dāng)CP是直徑時(shí)，存在m的最小值，利用勾股定理求出半徑AE，即可得到PD，由此求出m的最小值，得到m的取值范圍；

（3）求出直線AB的解析式為y=-x+2，證明直線與直線AB平行，當(dāng)以EF為直徑的圓與直線AB相切時(shí)有最小值，與直線AB相交時(shí)都可得到∠EPF=90°，故b<2，求出以EF為直徑的圓與直線AB相切時(shí)FP=OF=BF=1，由此得到b的取值范圍．

解：(1)∵，，

∴,

∵,

∴， ,

∴，

∴∠AP1B=90°，

∴∠AOB+∠AP1B=180°，

∴點(diǎn)O與點(diǎn)P1是關(guān)于線段AB的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；

∵，

∴，

∴,

∴，故點(diǎn)O與點(diǎn)P2不是關(guān)于線段AB的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；

∵，

∴，

∴，

∴，

∴∠AOB+∠AP3B=180°，

∴點(diǎn)O與點(diǎn)P3是關(guān)于線段AB的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；

故答案為：P1、P3；

(2) ∵點(diǎn)C與點(diǎn)P是關(guān)于線段OA的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，

∴點(diǎn)O、A、C、P四邊共圓，故點(diǎn)P在劣弧OA上，當(dāng)CP是直徑時(shí)，存在m的最小值，

設(shè)圓心為E，

∵,A（2,0），

∴CP⊥OA，CD=，OD=AD=1，

∵,

∴,

∴,

∴,

∴PD=,即m=-，

∴-≤m<0 ；

(3)設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，將點(diǎn)A(2,0)，B(0，2)代入，得

，∴，

∴直線AB的解析式為y=-x+2，

∴直線與直線AB平行，

∵A(2,0)，B(0，2),

∴OA=OB，

∴∠OFE=∠OBA=45°，

∵∠EOF=90°，點(diǎn)P與點(diǎn)O是關(guān)于線段EF的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，

∴∠EPF=90°，

∴當(dāng)以EF為直徑的圓與直線AB相切時(shí)有最小值，與直線AB相交時(shí)都可得到∠EPF=90°，故b<2，

當(dāng)以EF為直徑的圓與直線AB相切時(shí)，連接EF中點(diǎn)N與點(diǎn)P，連接PE、PF，

∴∠BPN=90°，

∴∠FNP=90°，

∵FN=PN，

∴∠NFP=∠NPF=45°，

∴∠OFP=90°，

∴四邊形OFPE是矩形，

∵OF=OE，

∴四邊形OFPE是正方形，

∴OF=PF=BF=1，

∴1≤b<2．