Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AD是弦，∠A=22.5°，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)C，使得∠ACD=45°．
（1）求證：CD是⊙O的切線(xiàn)．
（2）若AB=2

2

，求OC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線(xiàn)的判定

專(zhuān)題：

分析：（1）連接DO，由三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系易得∠DOC=∠C=45°，故有∠ODC=90°，即CD是圓的切線(xiàn)．
（2）由1知，CD=OD=

1

2

AB，在直角△COD中，利用勾股定理即可求解．

解答：（1）證明：連接DO，
∵AO=DO，
∴∠DAO=∠ADO=22.5°．
∴∠DOC=45°．
又∵∠ACD=2∠DAB，
∴∠ACD=∠DOC=45°．
∴∠ODC=90°．
又∵OD是⊙O的半徑，
∴CD是⊙O的切線(xiàn)．

（2）解：連接DB，
∵直徑AB=2

2

，△OCD為等腰直角三角形，
∴CD=OD=

2

，OC=

CD2+OD2

=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的判定．要證某線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，已知此線(xiàn)過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．