Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，與過點(diǎn)的直線相交于另一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為.

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)在線段上（不與點(diǎn)、重合），過作軸，交直線于，交拋物線于點(diǎn)，連接，求面積的最大值；

（3）若是軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)的長(zhǎng)為，是否存在，使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；（2）當(dāng)m= 時(shí)， ；（3）當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

【解析】

試題分析：（1）把點(diǎn)，代入拋物線得方程組，解方程組求得a、b的值，即可求得拋物線的表達(dá)式；（2）求的直線AD的表達(dá)式，設(shè) （0<m<3），利用m表示出MP和PC的長(zhǎng)，再利用三角形的面積公式構(gòu)建出面積和m的二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；（3）點(diǎn)P在點(diǎn)C的左邊和點(diǎn)P在點(diǎn)C的右邊兩種情況求解.

試題解析：

（1）把點(diǎn)，代入拋物線可得，

解得，

∴ ；

（2）∵,

∴A(0,1).

設(shè)直線AD的表達(dá)式為y=kx+b，

把A(0,1)，代入得，，

解得，，

∴

設(shè) （0<m<3），

∴MP= ，

∵ ,

∴PC=,

∴ ，

∴二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）

即當(dāng)m= 時(shí)， ；

（3）存在.

①點(diǎn)P在點(diǎn)C的左邊，

∵OP的長(zhǎng)為t，設(shè)（0<t<3），則,，

∴MN= ，

∵MN=CD= ,

∴，

∵△=-39，

∴方程無解；

②點(diǎn)P在點(diǎn)C的右邊，

OP的長(zhǎng)為t，設(shè)（t>3），則,，

∴MN= ，

∵MN=CD= ,

∴，

解得（舍去），；

綜上所述，當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.