【題目】如圖,在平面直角坐標系中,矩形的頂點分別在軸,軸的正半軸上,且.若拋物線經(jīng)過兩點,且頂點在邊上,對稱軸交于點,點的坐標分別為.

(1)求拋物線的解析式;

(2)猜想的形狀并加以證明;

(3)點在對稱軸右側的拋物線上,點軸上,請問是否存在以點為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出所有符合條件的點的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=x2+3x;(2)EDB為等腰直角三角形,證明見解析;(3)存在.點M坐標為(,2)或(2).

【解析】

試題分析:(1)由條件可求得拋物線的頂點坐標及A點坐標,利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;

(2)由B、D、E的坐標可分別求得DE、BD和BE的長,再利用勾股定理的逆定理可進行判斷;

(3)由B、E的坐標可先求得直線BE的解析式,則可求得F點的坐標,當AF為邊時,則有FMAN且FM=AN,則可求得M點的縱坐標,代入拋物線解析式可求得M點坐標;當AF為對角線時,由A、F的坐標可求得平行四邊形的對稱中心,可設出M點坐標,則可表示出N點坐標,再由N點在x軸上可得到關于M點坐標的方程,可求得M點坐標.

試題解析: (1)在矩形OABC中,OA=4,OC=3,A(4,0),C(0,3),

拋物線經(jīng)過O、A兩點,拋物線頂點坐標為(2,3),

可設拋物線解析式為y=a(x2)2+3,

把A點坐標代入可得0=a(42)2+3,解得a=,

拋物線解析式為y=(x2)2+3,即y=x2+3x;

(2)EDB為等腰直角三角形.

證明如下:由(1)可知B(4,3),且D(3,0),E(0,1),

DE2=32+12=10,BD2=(43)2+32=10,BE2=42+(31)2=20,

DE2+BD2=BE2,且DE=BD,

∴△EDB為等腰直角三角形;

(3)存在.理由如下:

設直線BE解析式為y=kx+b,

把B、E坐標代入可得,解得,

直線BE解析式為y=x+1,當x=2時,y=2,F(2,2),

當AF為平行四邊形的一邊時,則M到x軸的距離與F到x軸的距離相等,即M到x軸的距離為2,

點M的縱坐標為2或2,

在y=x2+3x中,令y=2可得2=x2+3x,解得x=,

點M在拋物線對稱軸右側,

x>2,

x=

M點坐標為(,2);

在y=x2+3x中,令y=2可得2=x2+3x,解得x=,

點M在拋物線對稱軸右側,

x>2,

x=,

M點坐標為(,2);

當AF為平行四邊形的對角線時,

A(4,0),F(xiàn)(2,2),

線段AF的中點為(3,1),即平行四邊形的對稱中心為(3,1),

設M(t, t2+3t),N(x,0),

t2+3t=2,解得t=,

點M在拋物線對稱軸右側,

x>2,

t=

M點坐標為(,2);

綜上可知存在滿足條件的點M,其坐標為(,2)或(,2).

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