Question

矩形紙片ABCD中，點P在AD上，且∠APB=70°，分別沿PB，PC將△PAB，△PDC翻折180°，得到△PA′B，△PD′C．設∠A′PD′=α，∠BCD′=β，則β=

 

．（用含α的式子表示）

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）

專題：分類討論

分析：分類討論：當點D′在矩形ABCD外部，點A′在△PDC內(nèi)部，則∠DCD′=90°+β，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠A′PB=∠APB=70°，∠DCP=∠DCP=

1

2

（90°+β），∠DPC=∠D′PC，根據(jù)鄰補角和互余的關(guān)系得到∠DPA′=40°，∠DPC=

1

2

（90°-β），然后根據(jù)∠A′PD′+∠DPA′=∠DPC+∠D′PC得到α+40°=2×

1

2

（90°-β），整理得β=50°-α；同理得到當點D′在矩形ABCD外部，點A′在△PDC外部時，有∠DPA′-∠A′PD′=∠DPC+∠D′PC，即40°-α=2×

1

2

（90°-β），整理得到β=50°+α；
當點D′在矩形ABCD的內(nèi)部，點A′在△PDC內(nèi)部，則∠DCD′=90°-β，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠A′PB=∠APB=70°，∠DCP=∠DCP=

1

2

（90°-β），∠DPC=∠D′PC，根據(jù)鄰補角和互余的關(guān)系得到∠DPA′=40°，∠DPC=

1

2

（90°+β），然后利用∠A′PD′+∠DPA′=∠DPC+∠D′PC得到α+40°=2×

1

2

（90°+β），整理可得β=α-50°；同理當點D′在矩形ABCD的內(nèi)部，點A′在△PDC外部時，有β=α+50°．

解答：解：當點D′在矩形ABCD外部，點A′在△PDC內(nèi)部，如圖1，
∵∠BCD′=β，
∴∠DCD′=90°+β，
∵沿PB，PC將△PAB，△PDC翻折180°，得到△PA′B，△PD′C，
∴∠A′PB=∠APB=70°，∠DCP=∠DCP=

1

2

（90°+β），∠DPC=∠D′PC，
∴∠DPA′=180°-2×70°=40°，∠DPC=90°-∠DCP=

1

2

（90°-β），
∵∠A′PD′+∠DPA′=∠DPC+∠D′PC，
∴α+40°=2×

1

2

（90°-β），
∴β=50°-α；
同理得到當點D′在矩形ABCD外部，點A′在△PDC外部時，∠DPA′-∠A′PD′=∠DPC+∠D′PC，即40°-α=2×

1

2

（90°-β），
∴β=50°+α；
當點D′在矩形ABCD的內(nèi)部，點A′在△PDC內(nèi)部，如圖2，
∵∠BCD′=β，
∴∠DCD′=90°-β，
∵沿PB，PC將△PAB，△PDC翻折180°，得到△PA′B，△PD′C，
∴∠A′PB=∠APB=70°，∠DCP=∠DCP=

1

2

（90°-β），∠DPC=∠D′PC，
∴∠DPA′=180°-2×70°=40°，∠DPC=90°-∠DCP=

1

2

（90°+β），
∵∠A′PD′+∠DPA′=∠DPC+∠D′PC，
∴α+40°=2×

1

2

（90°+β），
∴β=α-50°；
同理當點D′在矩形ABCD的內(nèi)部，點A′在△PDC外部時，有β=α+50°，
綜上所述，β=50°±α或β=α-50°．
故答案為β=50°±α或β=α-50°．

點評：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．也考查了矩形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理．