Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，過A、B兩點的圓交AC于點E，交BC于點D，且D為BC的中點．
（1）求證：AB為此圓的直徑；
（2）如果點E是

AD

的中點，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

考點：圓周角定理,等腰三角形的性質

專題：

分析：（1）連接AD，AB=AC，求出∠ADB=90°，判斷出AB為此圓的直徑；
（2）點E是

AD

的中點，

AE

=

DE

判斷出∠1=∠4=∠3，得到∠ABC=∠C=∠BAC，判斷出△ABC是等邊三角形．

解答：解：（1）如圖1，連接AD，
∵AB=AC，D為BC的中點，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴AB為此圓的直徑；
（2）如圖2，
∵點E是

AD

的中點，
∴

AE

=

DE

，
∴∠1=∠4=∠3，
又∵∠1=∠2，
∴∠1+∠2=∠3+∠4，
∴∠ABC=∠C=∠BAC，
∴△ABC是等邊三角形．

點評：本題考查了圓周角定理和等腰三角形的性質，作出輔助線是解題的關鍵．