【題目】如圖拋物線的開口向下與軸交于點(diǎn)和點(diǎn),與軸交于點(diǎn),點(diǎn)是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)重合)
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)點(diǎn)是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若的面積為12,求點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)如圖2,拋物線的頂點(diǎn)為,在拋物線上是否存在點(diǎn),使得,若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在請(qǐng)說明理由.
【答案】(1);(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,8)或(4,6)或(3,1)或(3+,1);(3)點(diǎn)E坐標(biāo)為(,)或(,).
【解析】
(1)將點(diǎn)和點(diǎn)代入求出a,b即可;
(2)如圖作輔助線,根據(jù)S△PCA=PG×AC=×HP×=12求出HP=4,由直線AC的表達(dá)式為y=x+6可得直線m的表達(dá)式,然后求出直線m和拋物線的交點(diǎn)即可得到兩個(gè)P點(diǎn)坐標(biāo),同理可得直線n的表達(dá)式,進(jìn)而得出另外兩個(gè)P點(diǎn)坐標(biāo);
(3)首先證明∠ACD=90°,可得sin∠DAC=,然后作輔助線構(gòu)造三角形,求出sin2∠DAC=,進(jìn)而可得tan∠EAB=,然后分情況討論:①當(dāng)點(diǎn)E在AB上方時(shí),求出直線AE的表達(dá)式即可解決問題,②當(dāng)點(diǎn)E在AB下方時(shí),同理計(jì)算即可.
解:(1)將點(diǎn)和點(diǎn)代入得:/span>,
解得:,
∴拋物線的解析式為:;
(2)如圖1所示,過點(diǎn)P作直線m∥AC交拋物線于點(diǎn)P′,在直線AC下方等距離處作直線n交拋物線于點(diǎn)P″、P′″,過點(diǎn)P作PH∥y軸交AC于點(diǎn)H,作PG⊥AC于點(diǎn)G,
∵拋物線的解析式為:,
∴C(0,6),
∴OA=OC,
∴∠PHG=∠ACB=45°,則HP=PG,
∴S△PCA=PG×AC=×HP×=12,
解得:HP=4,
易得直線AC的表達(dá)式為:y=x+6,
則直線m的表達(dá)式為:y=x+10,
聯(lián)立,解得:或,
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,8)或(4,6);
同理可得,直線n的表達(dá)式為:y=x+2,點(diǎn)P(P″、P′″)的坐標(biāo)為(3,1)或(3+,1),
綜上,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,8)或(4,6)或(3,1)或(3+,1);
(3)∵,
∴D(2,8),
∵點(diǎn)A(6,0)、B(2,0)、C(0,6),
∴AC2=,CD2=,AD2=,
∴AC2+CD2=AD2,
∴∠ACD=90°,
∴sin∠DAC=,
如圖2,延長(zhǎng)DC至D′使CD=CD′,連接AD′,過點(diǎn)D作DH⊥AD′,
則DD′=2CD=,AD=AD′=,
∵S△ADD′=×DD′×AC=DH×AD′,
∴××=DH×,
解得:DH=,
∴sin2∠DAC=sin∠DAD′=,
易得tan∠EAB=,
①當(dāng)點(diǎn)E在AB上方時(shí),如圖3,
設(shè)直線AE交y軸于F,
則tan∠EAB=,
∴OF=,即F(0,),
設(shè)直線AE的表達(dá)式為:y=kx+,
代入A(-6,0)解得:,
∴直線AE的表達(dá)式為:y=x+,
聯(lián)立,解得:或,
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為(,);
②當(dāng)點(diǎn)E在AB下方時(shí),
同理可得:點(diǎn)E(,),
綜上,點(diǎn)E坐標(biāo)為(,)或(,).
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(1)求證:AO=AG;
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(3)若BD=6,求圖形中陰影部分的面積.
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【題目】點(diǎn)在同一直線上,點(diǎn)位于的同側(cè),連接,,,.
(1)如圖1,求證:;
(2)如圖2,連接,請(qǐng)直接寫出圖中所有的全等三角形(除外)
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【題目】某校九年級(jí)(1)班所有學(xué)生參加2010年初中畢業(yè)生升學(xué)體育測(cè)試,根據(jù)測(cè)試評(píng)分標(biāo)準(zhǔn),將他們的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后分為A、B、C、D四等,并繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖(未完成),請(qǐng)結(jié)合圖中所給信息解答下列問題:
⑴ 九年級(jí)(1)班參加體育測(cè)試的學(xué)生有_________人;
⑵ 將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
⑶ 在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,等級(jí)B部分所占的百分比是___,等級(jí)C對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為___°;
⑷ 若該校九年級(jí)學(xué)生共有850人參加體育測(cè)試,估計(jì)達(dá)到A級(jí)和B級(jí)的學(xué)生共有___人.
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【題目】如圖,從A城市到B城市要翻過一座大山,現(xiàn)需要打通隧道,修建高鐵方便兩地出行,已知在A城市的北偏東30°方向和B城市的北偏西67°方向有一C地,A,C相距230km,求A,B兩個(gè)城市之間的距離.(參考數(shù)據(jù):sin67°≈,cos67°≈,tan67°≈,≈1.7,結(jié)果精確到1km)
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(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)時(shí),求四邊形的面積;
(3)是否存在點(diǎn),使得和相似?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.
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