Question

19．如圖，已知AB∥CD，CN是∠BCE的平分線．
（1）若CM平分∠BCD，求∠MCN的度數(shù)；
（2）若CM在∠BCD的內(nèi)部，且CM⊥CN于C，求證：CM平分∠BCD；
（3）在（2）的條件下，連結(jié)BM、BN，且BM⊥BN，∠MBN繞著B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，∠BMC+∠BNC是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，求其變化范圍．

Answer 1

分析 （1）利用角平分線的定義和補(bǔ)角的定義可得結(jié)果；
（2）由垂直的定義可得∠MCN=90°，即∠BCN+∠BCM=90°，利用等式的性質(zhì)可得2∠BCN+2∠BCM=180°，又因?yàn)椤螧CE=2∠BCN，可得∠BCD=2∠BCM，即得結(jié)論；
（3）延長(zhǎng)AB至F，過(guò)N，M分別作NG∥AB，MH∥AB，則有NG∥AB∥MH∥CD，利用平行線的性質(zhì)易得∠BNG=∠ABN，∠CNG=∠ECN，∠BMH=∠FBM，∠CMH=∠DCM，由∠MBN=∠MCN=90°，可得∠ABN+∠FBM+∠ECN+∠DCM=180°，由角平分線的定義可得結(jié)論．

解答 （1）解：∵CN、CM分別平分∠BCE和∠BCD，
∴$∠BCN=\frac{1}{2}∠BCE$，$∠BCM=\frac{1}{2}∠BCD$，
∵∠BCE+∠BCD=180°，
∴∠MCN=∠BCN+∠BCM=$\frac{1}{2}∠BCE+∠BCD$=$\frac{1}{2}$（∠BCE+∠BCD）=90°；

（2）證明：∵CM⊥CN，
∴∠MCN=90°，
即∠BCN+∠BCM=90°，
∴2∠BCN+2∠BCM=180°，
∵CN是∠BCE的平分線，
∴∠BCE=2∠BCN，
∴∠BCE+2∠BCM=180°，
∴∠BCD=2∠BCM，
∴CM平分∠BCD；

（3）解：如圖，∠BMC+∠BNC=180°，
延長(zhǎng)AB至F，過(guò)N，M分別作NG∥AB，MH∥AB，則有NG∥AB∥MH∥CD，
∴∠BNG=∠ABN，∠CNG=∠ECN，∠BMH=∠FBM，∠CMH=∠DCM，
∵BM⊥BN，CM⊥CN，
∴∠MBN=∠MCN=90°，
∵∠ABN+∠MBN+∠FBN=180°，∠ECN+∠MCN+∠DCM=180°，
∴∠ABN+∠FBM+∠ECN+∠DCM=180°，
∴∠BMC+∠BNC=∠BMH+∠CMH+∠BNG+∠CNG=∠ABN+∠FBM+∠ECN+∠DCM=180°，
∴∠BMC+∠BNC=180°不變．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線是解答此題的關(guān)鍵．