Question

【題目】小明在研究正方形的有關(guān)問題時(shí)發(fā)現(xiàn)有這樣一道題：“如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC邊上的一點(diǎn)，且∠FAE＝∠EAD．你能夠得出什么樣的正確的結(jié)論？”

（1）小明經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)：EF⊥AE．請你對小明所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論加以證明；

（2）小明之后又繼續(xù)對問題進(jìn)行研究，將“正方形”改為“矩形”、“菱形”和“任意平行四邊形”（如圖②、圖③、圖④），其它條件均不變，認(rèn)為仍然有“EF⊥AE”．你同意小明的觀點(diǎn)嗎？若你同意小明的觀點(diǎn)，請取圖③為例加以證明；若你不同意小明的觀點(diǎn)，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）EF⊥AE仍然成立．理由見解析.

【解析】

（1）延長AE交BC的延長線與點(diǎn)M，要證明EF⊥AE，只要證明△AFM是等腰三角形，再證明E是AM的中點(diǎn)就可以證得．

（2）同（1），延長AE交BC的延長線與點(diǎn)M，要證明EF⊥AE，只要證明△AFM是等腰三角形，再證明E是AM的中點(diǎn)就可以證得．

（1）證明：如圖①，延長AE交BC的延長線與點(diǎn)M．

∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∠FAE＝∠EAD，

∴∠DAM＝∠M，

又∵DE＝EC，∠AED＝∠MEC，

∴△AED≌△MEC，

∴AE＝EM，∠EAD＝∠FAE＝∠M，

∴AF＝FM，

∴FE⊥AE．

（2）解：EF⊥AE仍然成立．理由如下：

如圖③，延長AE交BC的延長線與點(diǎn)M，

∵在菱形ABCD中，AD∥BC，∠FAE＝∠EAD，

∴∠DAM＝∠M，

又∵DE＝EC，∠AED＝∠MEC，

∴△AED≌△MEC，

∴AE＝EM，∠EAD＝∠FAE＝∠M，

∴AF＝FM，

∴FE⊥AE．