【題目】(本小題滿分12分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線()與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),經(jīng)過點A的直線l:與y軸負半軸交于點C,與拋物線的另一個交點為D,且CD=4AC.
(1)直接寫出點A的坐標,并求直線l的函數(shù)表達式(其中k,b用含a的式子表示);
(2)點E是直線l上方的拋物線上的動點,若△ACE的面積的最大值為,求a的值;
(3)設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一點,點Q在拋物線上,以點A,D,P,Q為頂點的四邊形能否成為矩形?若能,求出點P的坐標;若不能,請說明理由.
【答案】(1)A(-1,0),;(2);(3)P的坐標為(1,)或(1,-4).
【解析】
試題(1)在中,令y=0,得到,,得到A(-1,0),B(3,0),由直線l經(jīng)過點A,得到,故,令,即,由于CD=4AC,故點D的橫坐標為4,即有,得到,從而得出直線l的函數(shù)表達式;
(2)過點E作EF∥y軸,交直線l于點F,設(shè)E(,),則F(,),
EF==,S△ACE=S△AFE-S△CFE==,故△ACE的面積的最大值為,而△ACE的面積的最大值為,所以 ,解得;
(3)令,即,解得,,得到D(4,5a),因為拋物線的對稱軸為,設(shè)P(1,m),然后分兩種情況討論:①若AD是矩形的一條邊,②若AD是矩形的一條對角線.
試題解析:(1)∵=,令y=0,得到,,∴A(-1,0),B(3,0),∵直線l經(jīng)過點A,∴,,∴,令,即,∵CD=4AC,∴點D的橫坐標為4,∴,∴,∴直線l的函數(shù)表達式為;
(2)過點E作EF∥y軸,交直線l于點F,設(shè)E(,),則F(,),
EF==,
S△ACE=S△AFE-S△CFE=
==,
∴△ACE的面積的最大值為,∵△ACE的面積的最大值為,∴ ,解得;
(3)令,即,解得,,∴D(4,5a),∵,∴拋物線的對稱軸為,設(shè)P(1,m),
①若AD是矩形的一條邊,則Q(-4,21a),m=21a+5a=26a,則P(1,26a),∵四邊形ADPQ為矩形,∴∠ADP=90°,∴,∴,即 ,∵,∴,∴P1(1,);
②若AD是矩形的一條對角線,則線段AD的中點坐標為( ,),Q(2,),m=,則P(1,8a),∵四邊形APDQ為矩形,∴∠APD=90°,∴,∴,即 ,∵,∴,∴P2(1,-4).
綜上所述,以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能成為矩形,點P的坐標為(1,)或(1,-4).
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【題目】在Rt△ABC中,∠A=30°,∠ACB=90°,AB=10,D為AC上點.將BD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到BE,連接CE.
(1)證明:∠ABD=∠CBE;
(2)連接ED,若ED=2,求的值.
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【題目】某區(qū)為了創(chuàng)建國家級衛(wèi)生城區(qū),對轄區(qū)內(nèi)一些農(nóng)貿(mào)市場需要處理,處理的方式有兩種,一種是不改變地理位置就地改造;另一種是改變地理位置,選擇一個合理的位置重新建農(nóng)貿(mào)市場.經(jīng)調(diào)研,需要處理的農(nóng)貿(mào)市場共有300萬平方米,該區(qū)根據(jù)區(qū)情,限定就地改造的面積不得少于新建面積的2倍.
(1)新建農(nóng)貿(mào)市場的面積最多是多少萬平方米?
(2)該區(qū)計劃以每平方米4000元的造價修建(1)中新建面積最多的農(nóng)貿(mào)市場,以每平方米1000元的造價改造其它需要就地處理的農(nóng)貿(mào)市場.但在實際施工中,新建的農(nóng)貿(mào)市場面積增加了,每平方米的造價下降了,就地改造的農(nóng)貿(mào)市場的面積沒有變,但每平方米的造價下降了,結(jié)果總費用與計劃持平,求的值.
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【題目】有5張正面分別寫有數(shù)字﹣1,-,0,1,3的卡片,它們除數(shù)字不同外全部相同.將它們背面朝上,洗勻后從中隨機的抽取一張,記卡片上的數(shù)字為a,則使以x為自變量的反比例函數(shù)經(jīng)過二、四象限,且關(guān)于x的方程有實數(shù)解的概率是_____.
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【題目】如圖,扇形OAB中,∠AOB=60°,扇形半徑為4,點C在上,CD⊥OA,垂足為點D,當(dāng)△OCD的面積最大時,圖中陰影部分的面積為_____.
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【題目】某商場銷售一種品牌羽絨服和防寒服,其中羽絨服的售價是防寒服售價的5倍還多100元,2014年1月份(春節(jié)前期)共銷售500件,羽絨服與防寒服銷量之比是4:1,銷售總收入為58.6萬元.
(1)求羽絨服和防寒服的售價;
(2)春節(jié)后銷售進入淡季,2014年2月份羽絨服銷量下滑了6m%,售價下滑了4m%,防寒服銷量和售價都維持不變,結(jié)果銷售總收入下降為16.04萬元,求m的值.
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+1經(jīng)過點(2,6),且與直線y=x+1相交于A,B兩點,點A在y軸上,過點B作BC⊥x軸,垂足為點C(4,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若P是直線AB上方該拋物線上的一個動點,過點P作PD⊥x軸于點D,交AB于點E,求線段PE的最大值;
(3)在(2)的條件,設(shè)PC與AB相交于點Q,當(dāng)線段PC與BE相互平分時,請求出點Q的坐標.
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【題目】某校開展研學(xué)旅行活動,準備去的研學(xué)基地有A(曲阜)、B(梁山)、C(汶上),D(泗水),每位學(xué)生只能選去一個地方,王老師對本全體同學(xué)選取的研學(xué)基地情況進行調(diào)查統(tǒng)計,繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖(如圖所示).
(1)求該班的總?cè)霐?shù),并補全條形統(tǒng)計圖.
(2)求D(泗水)所在扇形的圓心角度數(shù);
(3)該班班委4人中,1人選去曲阜,2人選去梁山,1人選去汶上,王老師要從這4人中隨機抽取2人了解他們對研學(xué)基地的看法,請你用列表或畫樹狀圖的方法,求所抽取的2人中恰好有1人選去曲阜,1人選去梁山的概率.
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【題目】如圖,BD為圓O的直徑,直線ED為圓O的切線,A、C兩點在圓上,AC平分∠BAD且交BD于F點.若∠ADE=19°,則∠AFB的度數(shù)為何?( )
A. 97° B. 104° C. 116° D. 142°
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