Question

3．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O過點A的切線與CD的延長線交于⊙O，且∠ADE=∠BDC．
（1）求證：AC=BC；
（2）若AE=6，BC=12，CD=5，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）根據圓內接四邊形的性質得∠ADE=∠ABC，根據圓周角定理得∠BAC=∠BDC，然后利用∠ADE=∠BDC易得∠ABC=∠BAC，于是根據等腰三角形的判定即可得到結論；
（2）根據切割線定理得到EA²=ED•EC，則可計算出ED=4，然后證明△EAD∽△EAC，則可利用相似比計算出AD．

解答 （1）證明：∵∠ADE=∠ABC，∠BAC=∠BDC，
而∠ADE=∠BDC，
∴∠ABC=∠BAC，
∴AC=BC；
（2）解：∵EA為切線，EDC為割線，
∴EA²=ED•EC，
∴ED（5+ED）=36，解得ED=4，
即EA：ED=EC：EA，
而∠AED=∠CEA，
∴△EAD∽△EAC，
∴AD：AC=DE：AE，即AD：12=4：6，
∴AD=8．

點評 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．解決（2）小題的關鍵是根據切割線定理計算出DE，證明△EAD∽△EAC．