Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中直線(xiàn)：分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)C，．

（1）求直線(xiàn)的解析式；

（2）若D為線(xiàn)段上一點(diǎn)，E為線(xiàn)段上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的最小值為3，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，4）．

【解析】

（1）在中，求當(dāng)y=0時(shí)，x的值，確定A點(diǎn)坐標(biāo)，由OC=6確定C點(diǎn)坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法解函數(shù)解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC，結(jié)合一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，利用銳角三角函數(shù)求得∠BAO=30°，∠CAO=60°，∠ACO=30°，BF=，然后根據(jù)題目中三角形面積關(guān)系求得AD的長(zhǎng)，在y軸右側(cè)作∠NCO=30°，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥NC，交y軸于點(diǎn)E，此時(shí)最短，根據(jù)含30°直角三角形性質(zhì)求得DM，CM的長(zhǎng)，從而使問(wèn)題得解．

解：（1）在中，求當(dāng)y=0時(shí)，

解得：

∴A（，0）

又∵OC=6

∴C（0，6）

設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為，將A（，0），C（0，6）代入得

，解得

∴直線(xiàn)AC的解析式為；

（2）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC，

在中，x=0時(shí)，y=2

∴B（0，2）

在Rt△AOB中，，

在Rt△AOC中，，

∴∠BAO=30°，∠CAO=60°，∠ACO=30°

∴BF=，DF=2

∵

∴

∴，解得AD==BF

∴此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)F重合，即BD⊥AC

∴CD=AC-AD=，

在y軸右側(cè)作∠NCO=30°，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥NC，交y軸于點(diǎn)E

此時(shí)EM=，

∴此時(shí)最短

又∵DM⊥NC，∠ACO=∠NCO=30°，

∴在Rt△CDM中，∠CDM=30°

∴CM=，DM=

又∵在Rt△CEM中，∠ECM=30°

∴，CE=2EM=2

∴OE=OC-CE=4

∴的最小值為3，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，4）．