Question

【題目】如圖，在射線BA，BC，AD，CD圍成的菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6 ，O是射線BD上一點(diǎn)，⊙O與BA，BC都相切，與BO的延長線交于點(diǎn)M．過M作EF⊥BD交線段BA（或射線AD）于點(diǎn)E，交線段BC（或射線CD）于點(diǎn)F．以EF為邊作矩形EFGH，點(diǎn)G，H分別在圍成菱形的另外兩條射線上．
（1）求證：BO=2OM．
（2）設(shè)EF＞HE，當(dāng)矩形EFGH的面積為24 時(shí)，求⊙O的半徑．
（3）當(dāng)HE或HG與⊙O相切時(shí)，求出所有滿足條件的BO的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1所示：設(shè)⊙O切AB于點(diǎn)P，連接OP，則∠OPB=90°．

∵四邊形ABCD為菱形，

∴∠ABD= ∠ABC=30°．

∴OB=2OP．

∵OP=OM，

∴BO=2OP=2OM．

（2）

解：如圖2所示：設(shè)GH交BD于點(diǎn)N，連接AC，交BD于點(diǎn)Q．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD．

∴BD=2BQ=2ABcos∠ABQ= AB=18．

設(shè)⊙O的半徑為r，則OB=2r，MB=3r．

∵EF＞HE，

∴點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H均在菱形的邊上．

①如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)．

在Rt△BEM中，EM=BMtan∠EBM= r．

由對(duì)稱性得：EF=2EM=2 r，ND=BM=3r．

∴MN=18﹣6r．

∴S矩形EFGH=EFMN=2 r（18﹣6r）=24 ．

解得：r1=1，r2=2．

當(dāng)r=1時(shí)，EF＜HE，

∴r=1時(shí)，不合題意舍

當(dāng)r=2時(shí)，EF＞HE，

∴⊙O的半徑為2．

∴BM=3r=6．

如圖3所示：

當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上時(shí)．BM=3r，則MD=18﹣3r．

由對(duì)稱性可知：NB=MD=6．

∴MB=3r=18﹣6=12．

解得：r=4．

綜上所述，⊙O的半徑為2或4．

（3）

解：解設(shè)GH交BD于點(diǎn)N，⊙O的半徑為r，則BO=2r．

當(dāng)點(diǎn)E在邊BA上時(shí)，顯然不存在HE或HG與⊙O相切．

①如圖4所示，點(diǎn)E在AD上時(shí)．

∵HE與⊙O相切，

∴ME=r，DM= r．

∴3r+ r=18．

解得：r=9﹣3 ．

∴OB=18﹣6 ．

②如圖5所示；

由圖形的對(duì)稱性得：ON=OM，BN=DM．

∴OB= BD=9．

③如圖6所示．

∵HG與⊙O相切時(shí)，MN=2r．

∵BN+MN=BM=3r．

∴BN=r．

∴DM= FM= GN=BN=r．

∴D與O重合．

∴BO=BD=18．

④如圖7所示：

∵HE與⊙O相切，

∴EM=r，DM= r．

∴3r﹣ r=18．

∴r=9+3 ．

∴OB=2r=18+6 ．

綜上所述，當(dāng)HE或GH與⊙O相切時(shí)，OB的長為18﹣6 或9或18或18+6 ．

【解析】（1）設(shè)⊙O切AB于點(diǎn)P，連接OP，由切線的性質(zhì)可知∠OPB=90°．先由菱形的性質(zhì)求得∠OBP的度數(shù)，然后依據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)證明即可；
　　　　（2）設(shè)GH交BD于點(diǎn)N，連接AC，交BD于點(diǎn)Q．先依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值求得BD的長，設(shè)⊙O的半徑為r，則OB=2r，MB=3r．當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)．在Rt△BEM中，依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可得到EM的長（用含r的式子表示），由圖形的對(duì)稱性可得到EF、ND、BM的長（用含r的式子表示，從而得到MN=18﹣6r，接下來依據(jù)矩形的面積列方程求解即可；當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上時(shí)．BM=3r，則MD=18﹣3r，最后由MB=3r=12列方程求解即可；
　　　　（3）先根據(jù)題意畫出符合題意的圖形，
　　　�、偃鐖D4所示，點(diǎn)E在AD上時(shí)，可求得DM= r，BM=3r，然后依據(jù)BM+MD=18，列方程求解即可；
　　　�、谌鐖D5所示；依據(jù)圖形的對(duì)稱性可知得到OB= BD；
　　　　③如圖6所示，可證明D與O重合，從而可求得OB的長；
　　　�、苋鐖D7所示：先求得DM= r，OMB=3r，由BM﹣DM=DB列方程求解即可．本題主要考查的是四邊形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了菱形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、特殊銳角三角函數(shù)值的應(yīng)用、矩形的面積公式，根據(jù)題意畫出符合題意的圖形是解題的關(guān)鍵．