Question

5．如圖所示，拋物線y=ax²-$\frac{3}{2}$x+c經(jīng)過原點O與點A（6，0）兩點，過點A作AC⊥x軸，交直線y=2x-2于點C，且直線y=2x-2與x軸交于點D．
（1）求拋物線的解析式，并求出點C和點D的坐標(biāo)；
（2）求點A關(guān)于直線y=2x-2的對稱點A′的坐標(biāo)，并判斷點A′是否在拋物線上，并說明理由；
（3）點P（x，y）是拋物線上一動點，過點P作y軸的平行線，交線段CA′于點Q，設(shè)線段PQ的長為l，求l與x的函數(shù)關(guān)系式及l(fā)的最大值．

Answer 1

分析 （1）把O、A代入拋物線解析式即可求出a、c，令y=0，即可求出D坐標(biāo)，根據(jù)A、C兩點橫坐標(biāo)相等，即可求出點C坐標(biāo)．
（2）過點A′作AF⊥x軸于點F，求出A′F、FO即可解決問題．
（3）設(shè)點P（x，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x），先求出直線A′C的解析式，再構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．

解答 解：（1）把點O（0，0），A（6，0）代入y=ax²-$\frac{3}{2}$x+c，得$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{36a-9=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x．
當(dāng)x=6時，y=2×6-2=10，
當(dāng)y=0時，2x-2=0，解得x=1，
∴點C坐標(biāo)（6，10），點D的坐標(biāo)（1，0）
（2）過點A′作AF⊥x軸于點F，
∵點D（1，0），A（6，0），可得AD=5，
在Rt△ACD中，CD=$\sqrt{{5}^{2}+1{0}^{2}}$=5$\sqrt{5}$，
∵點A與點A′關(guān)于直線y=2x-2對稱，
∴∠AED=90°，
∴S_△ADC=$\frac{1}{2}$×$5\sqrt{5}$•AE=$\frac{1}{2}$×5×10，
解得AE=2$\sqrt{5}$，
∴AA′=2AE=4$\sqrt{5}$，DE=$\sqrt{{5}^{2}-（2\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵∠AED=∠AFA′=90°，∠DAE=∠A′AF，
∴△ADE∽△AA′F，
∴$\frac{2\sqrt{5}}{AF}$=$\frac{\sqrt{5}}{A′F}$=$\frac{5}{4\sqrt{5}}$，
解得AF=4，A′F=8，
∴OF=8-6=2，
∴點A′坐標(biāo)為（-2，4），
當(dāng)x=-2時，y=$\frac{1}{4}$×4-$\frac{3}{2}$×（-2）=4，
∴A′在拋物線上．

（3）∵點P在拋物線上，則點P（x，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x），
設(shè)直線A′C的解析式為y=kx+b，
∵直線A經(jīng)過A′（-2，4），C（6，10）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=4}\\{6k+b=10}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=\frac{11}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線A′C的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{11}{2}$，
∵點Q在直線A′C上，PQ∥AC，點Q的坐標(biāo)為（x，$\frac{3}{4}$x+$\frac{11}{2}$），
∵PQ∥AC，又點Q在點P上方，
∴l(xiāng)=（$\frac{3}{4}$x+$\frac{11}{2}$）-（$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x）=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+$\frac{11}{2}$，
∴l(xiāng)與x的函數(shù)關(guān)系式為l=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+$\frac{11}{2}$，（-2＜x≤6），
∵l=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+$\frac{11}{2}$=-$\frac{1}{4}$（x-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{169}{16}$，
∴當(dāng)x=$\frac{9}{2}$時，l的最大值為$\frac{169}{16}$．

點評 本題考查二次函數(shù)的綜合題、待定系數(shù)法，最值問題等知識，解題的關(guān)鍵是靈活掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決問題最值問題，屬于中考壓軸題．