【題目】在正方形AMFN中,以AM為BC邊上的高作等邊三角形ABC,將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至點D,D點恰好落在NF上,連接BD,AC與BD交于點E,連接CD.
(1)如圖1,求證:△AMC≌△AND;
(2)如圖1,若DF=,求AE的長;
(3)如圖2,將△CDF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)(),點C,F的對應點分別為、.連接、,點G是的中點,連接AG.試探索是否為定值,若是定值,則求出該值;若不是,請說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)AE=;(3)(3),理由見解析.
【解析】
(1)運用四邊形AMFN是正方形得到判斷△AMC,△AND是Rt△,進一步說明△ABC是等邊三角形,在結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),即可證明.
(2)過E作EG⊥AB于G,在BC找一點H,連接DH,使BH=HD,設AG=,則AE= GE=,得到△GBE是等腰直角三角形和∠DHF=30°,再結(jié)合直角三角形的性質(zhì),判定Rt△AMC≌Rt△AND,最后通過計算求得AE的長;
(3)延長F1G到M,延長BA交的延長線于N,使得,可得≌,從而得到 ,可知∥,再根據(jù)題意證明≌,進一步說明是等腰直角三角形,然后再使用勾股定理求解即可.
(1)證明:∵四邊形AMFN是正方形,
∴AM=AN ∠AMC=∠N=90°
∴△AMC,△AND是Rt△
∵△ABC是等邊三角形
∴AB=AC
∵旋轉(zhuǎn)后AB=AD
∴AC=AD
∴Rt△AMC≌Rt△AND(HL)
(2)過E作EG⊥AB于G,在BC找一點H,連接DH,使BH=HD,
設AG=
則AE= GE=
易得△GBE是等腰直角三角形
∴BG=EG=
∴AB=BC=
易得∠DHF=30°
∴HD=2DF= HF=
∴BF=BH+HF=
∵Rt△AMC≌Rt△AND(HL)
∴易得CF=DF=
∴BC=BF-CF=
∴
∴
∴AE=
(3);
理由:如圖2中,延長F1G到M,延長BA交的延長線于N,使得,則≌,
∴ ,
∴∥,
∴
∵
∴
∴,
∵
∴≌(SAS)
∴
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∴
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】江津區(qū)某玩具商城在“六一”兒童節(jié)來臨之際,以49元/個的價格購進某種玩具進行銷售,并預計當售價為50元/個時,每天能售出50個玩具,且在一定范圍內(nèi),當每個玩具的售價平均每提高0.5元時,每天就會少售出3個玩具。
(1)若玩具售價不超過60元/個,每天售出玩具總成本不高于686元,預計每個玩具售價的取值范圍;
(2)在實際銷售中,玩具城以(1)中每個玩具的最低售價及相應的銷量為基礎,進一步調(diào)整了銷售方案,將每個玩具的售價提高了%,從而每天的銷售量降低了%,當每天的銷售利潤為147元時,求a的值.
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【題目】如圖,點A,B,C,D的坐標分別是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),以C,D,E為頂點的三角形與△ABC相似,則點E的坐標不可能是( )
A. (6,0) B. (6,3) C. (6,5) D. (4,2)
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)的圖象交于A(-4,n),B(2,-4)兩點.
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)求直線AB與x軸的交點C的坐標及△AOB的面積;
(3)根據(jù)圖象直接寫出關于x的方程的解及不等式的解集.
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【題目】如圖,△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF的頂點E與△ABC的斜邊BC的中點重合.將△DEF繞點E旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)過程中,線段DE與線段AB相交于點P,線段EF與射線CA相交于點Q.
(1)如圖①,當點Q在線段AC上,且AP=AQ時,求證:△BPE≌△CQE;
(2)如圖②,當點Q在線段CA的延長線上時,求證:△BPE∽△CEQ;并求當BP=a,CQ=a 時,P、Q兩點間的距離 (用含a的代數(shù)式表示).
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【題目】定義運算ab=a(1-b),下面給出了關于這種運算的四個結(jié)論:
①2(-2)=6 ②ab=ba
③若a+b=0,則(aa)+(bb)=2ab ④若ab=0,則a=0.
其中正確結(jié)論的序號是 (填上你認為所有正確結(jié)論的序號).
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【題目】已知a是最大的負整數(shù),b是﹣5的相反數(shù),c=﹣|﹣3|,且a、b、c分別是點A、B、C在數(shù)軸上對應的數(shù).
(1)求a、b、c的值;
(2)若動點P從點A出發(fā)沿數(shù)軸正方向運動,動點Q同時從點B出發(fā)也沿數(shù)軸正方向運動,點P的速度是每秒3個單位長度,點Q的速度是每秒1個單位長度,求運動幾秒后,點P可以追上點Q?
(3)在(2)的條件下,P、Q出發(fā)的同時,動點M從點C出發(fā)沿數(shù)軸正方向運動,速度為每秒6個單位長度,點M追上點Q后立即返回沿數(shù)軸負方向運動,追上后點M再運動幾秒,M到Q的距離等于M到P距離的兩倍?
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【題目】如圖,A、B、C、D為矩形的四個頂點,AB=16cm,AD=6cm,動點P、Q分別從點A、C同時出發(fā),點P以3cm/s的速度向點B移動,一直到達B為止,點Q以2 cm/s的速度向D移動.
(1)P、Q兩點從出發(fā)開始到幾秒?四邊形PBCQ的面積為33cm2;
(2)P、Q兩點從出發(fā)開始到幾秒時?點P和點Q的距離是10cm.
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