Question

如圖，已知⊙P和⊙O 相交于A、G兩點，AB是⊙O的直徑，且交⊙P于點E，⊙O的弦CD過點E，且CD⊥AB交⊙P于F，F(xiàn)A與⊙O交于M，且F、G、B三點在一條直線上，GE的延長線交⊙O于N，連結(jié)AN．
（1）求證：AB平分∠MAN；
（2）若N是

AB

的中點，求證：BE+EF=

2

AM；
（3）若⊙O的半徑為5，EF=2CE=6，求AN的長．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)圓周角定理得∠NAB=∠NGB，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠NGB=∠FAE，則∠NAB=∠FAE，即AB平分∠MAN；
（2）連接ON，OM，如圖1，由N是

AB

的中點，根據(jù)垂徑定理的推理得到NO⊥AB，則∠NAO=45°，所以∠FAE=45°，易判斷△AOM為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得OA=

2

2

AM；由于CD⊥AB，易得△AEF為等腰直角三角形，得到EF=AE，所以EF+BE=AB，加上AB=2OA，于是可得BE+EF=

2

AM；
（3）連接OC，BN，如圖2，由EF=2CE=6得到CE=3，利用勾股定理，在Rt△OCE中計算出OE=4，則AE=9，在Rt△AEF中，再利用勾股定理計算出AF=3

13

，
由于AB為⊙O的直徑，根據(jù)圓周角定理得∠ANB=90°，加上∠NAB=∠FAE，根據(jù)相似三角形的判定方法得到Rt△ANB∽Rt△AEF，然后利用相似比可計算出AN．

解答：（1）證明：∵∠NAB=∠NGB，
而∠NGB=∠FAE，
∴∠NAB=∠FAE，
∴AB平分∠MAN；
（2）證明：連接ON，OM，如圖1，
∵N是

AB

的中點，
∴NO⊥AB，
而OA=ON，
∴∠NAO=45°，
∴∠FAE=45°，
∵OM=OA，
∴∠AMO=45°，
∴△AOM為等腰直角三角形，
∴OA=

2

2

AM，
∵CD⊥AB，
∴△AEF為等腰直角三角形，
∴EF=AE，
∴EF+BE=AE+BE=AB，
而AB=2OA，
∴BE+EF=

2

AM；
（3）解：連接OC，BN，如圖2，
∵EF=2CE=6，
∴CE=3，
在Rt△OCE中，OC=5，CE=3，
∴OE=

52-32

=4，
∴AE=OA+OE=9，
在Rt△AEF中，EF=6，AE=9，
∴AF=

AE2+EF2

=3

13

，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ANB=90°，
∵∠NAB=∠FAE，
∴Rt△ANB∽Rt△AEF，
∴

AN

AE

=

AB

AF

，即

AN

9

=

10

3 13

，
∴AN=

30 13

13

．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理及其推理、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；會運(yùn)用勾股定理和相似比進(jìn)行幾何計算．