Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過(guò)A（4，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在直線AC上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使得△DCA的面積最大？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)及△DCA面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，當(dāng)D（2，1），△DAC面積的最大值為4．

【解析】

（1）由拋物線經(jīng)過(guò)A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可求得該拋物線的解析式；

（2）設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜4），則D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-t2+t-2，過(guò)D作y軸的平行線交AC于E．即可求得DE的長(zhǎng)，繼而可求得S△DCA=-（t-2）2+4，然后由二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)及△DCA面積的最大值．

解：（1）將點(diǎn)A（4，0）、B（1，0）代入拋物線解析式得：

，

解得：，

則拋物線解析式為；

存在．

如圖1，設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜4），則D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣t2+t﹣2．

過(guò)D作y軸的平行線交AC于E．

設(shè)直線AC的解析式為：y＝mx+n，

則 ，

解得：，

由題意可求得直線AC的解析式為y＝x﹣2．

∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，t﹣2）．

∴DE＝﹣t2+t﹣2﹣（t﹣2）＝﹣t2+2t．

∴S△DCA＝S△CDE+S△ADE＝×DE×OA＝×（﹣t2+2t）×4＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4．

∴當(dāng)t＝2時(shí)，S最大＝4．

∴當(dāng)D（2，1），△DAC面積的最大值為4．