如圖,AE是⊙O直徑,D是⊙O上一點(diǎn),連結(jié)AD并延長(zhǎng)使AD=DC,連結(jié)CE交⊙O于點(diǎn)B,連結(jié)AB.過點(diǎn)E的直線與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,且∠F=∠CED.
(1)求證:EF是⊙O切線;
(2)若CD=CF=2,求BE的長(zhǎng).
考點(diǎn):切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)
專題:證明題
分析:(1)根據(jù)圓周角定理由AE是⊙O直徑得到∠ADE=90°,而AD=DC,根據(jù)等腰三角形的判定方法得到EA=EC,則∠AED=∠CED,由于∠F=∠CED,所以∠AED=∠F,易得∠F+∠EAD=90°,即∠AEF=90°,然后根據(jù)切線的判定定理即可得到EF是⊙O切線;
(2)根據(jù)相似三角形的判定方法得到△ADE∽△AEF,利用相似比可計(jì)算出AE=2
3
,則CE=AE=2
3
,在Rt△ADE中,利用勾股定理計(jì)算出DE=2
2
,
再由AE是⊙O直徑得到∠ABE=90°,則根據(jù)面積法得到
1
2
CE•AB=
1
2
DE•AC,則可計(jì)算出AB=
4
6
3
,然后在Rt△ABE中,根據(jù)勾股定理計(jì)算BE.
解答:(1)證明:∵AE是⊙O直徑,
∴∠ADE=90°,
∴ED⊥AC,
∵AD=DC,
∴EA=EC,
∴∠AED=∠CED,
∵∠F=∠CED,
∴∠AED=∠F,
而∠AED+∠EAD=90°,
∴∠F+∠EAD=90°,
∴∠AEF=90°,
∴AE⊥EF,
∴EF是⊙O切線;
(2)∵CD=CF=2,
∴AD=CD=CF=2,
∵∠ADE=∠AEF,∠DAE=∠EAF,
∴△ADE∽△AEF,
∴AE:AF=AD:AE,即AE:6=2:AE,
∴AE=2
3
,
∴CE=AE=2
3
,
在Rt△ADE中,DE=
AE2-AD2
=
(2
3
)2-22
=2
2
,
∵AE是⊙O直徑,
∴∠ABE=90°,
1
2
CE•AB=
1
2
DE•AC,
∴AB=
2
2
×4
2
3
=
4
6
3
,
在Rt△ABE中,BE=
AE2-AB2
=
2
3
3
點(diǎn)評(píng):本題考查了切線的判定定理:經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.也考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)這次被調(diào)查的市民共有
 
人.
(2)請(qǐng)你將統(tǒng)計(jì)圖1補(bǔ)充完整.
(3)統(tǒng)計(jì)圖2中D項(xiàng)目對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角是
 
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