Question

4．閱讀發(fā)現(xiàn)：（1）如圖①，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BC=3，BD=BE=1，連結(jié)CD，AE．易證：△BCD≌△BAE．（不需要證明）
提出問題：（2）在（1）的條件下，當(dāng)BD∥AE時，延長CD交AE于點(diǎn)F，如圖②，求AF的長．
解決問題：（3）如圖③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠DEB=30°，連結(jié)CD，AE．當(dāng)∠BAE=45°時，點(diǎn)E到AB的距離EF的長為2，求線段CD的長為$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 （2）由△BCD≌△BAE，得到∠OAF=∠OCB，根據(jù)“8字型”證明∠AFO=∠CBO=90°，在RT△BDC中利用勾股定理求出CD，再證明BD=EF即可解決問題．
（3）根據(jù)兩邊成比例夾角相等兩三角形相似，可以證明△ABE∽△CBD，得$\frac{AE}{CD}$=$\frac{BE}{BD}$=$\sqrt{3}$，再求出AE即可解決問題．

解答 （2）解：如圖②中，AB與CF交于點(diǎn)O．
由（1）可知：△BCD≌△BAE，
∴∠OAF=∠OCB，CD=AE，∵∠AOF=∠COB，
∴∠AFO=∠CBO=90°，
∴CF⊥AE，∵BD∥AE，
∴BD⊥CF，
在RT△CDB中，∵∠CDB=90°，BC=3，BD=1，
∴CD=AE=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵∠BDF=∠DFE=∠DBE=90°，
∴四邊形EFDB是矩形，
∴EF=BD=1，
∴AF=AE-EF=2$\sqrt{2}$-1．
（3）解：在RT△ABC，RT△EBD中，∵∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠DEB=30°，
∴AB=$\sqrt{3}$BC，BE=$\sqrt{3}$BD，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BE}{BD}$=$\sqrt{3}$，
∵∠ABC=∠EBD=90°，
∴∠ABE=∠DBC，
∴△ABE∽△CBD，
∴$\frac{AE}{CD}$=$\frac{BE}{BD}$=$\sqrt{3}$，
在RT△AEF中，∵∠AFE=90°，∠EAF=45°，EF=2，
∴AF=EF=2，AE=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{2\sqrt{2}}{CD}$=$\sqrt{3}$，
∴CD=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故答案為$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用全等三角形和相似三角形的性質(zhì)和判定解決問題，屬于中考�？碱}型．