Question

【題目】定義：如圖1，已知銳角內(nèi)有定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)任意作一條直線，分別交射線，于點(diǎn)M，N．若是線段的中點(diǎn)時(shí)，則稱直線是的中點(diǎn)直線．如圖2，射線的解析式為與軸的夾角為，，為的中點(diǎn)直線．

（1）求直線的解析式；

（2）若過(guò)點(diǎn)任意作一條直線，分別交射線，軸的正半軸于點(diǎn)，，記的面積為，的面積為．求證：．

Answer 1

【答案】（1）直線MN的解析式為；（2）見(jiàn)解析．

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，分別過(guò)點(diǎn)M、N作x軸的垂線，利用∽，求出，得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求直線MN解析式即可；

（2）設(shè)，過(guò)點(diǎn)作軸交于，根據(jù)軸，點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn)可證得≌，進(jìn)而得到即可求證．

（1）解：如圖，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

作軸，軸，垂足分別為，，

∴，

∴∽，

∴．

∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，P(3，1)，

∴PB=1，

∴，即，解得．

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2），

設(shè)直線的解析式為，

把，；，代入，

得，解得，

∴中點(diǎn)直線的解析式為．

（2）證明：如圖，不妨設(shè)，過(guò)點(diǎn)作軸交于．

則有，．

∵是的中點(diǎn)，∴，∴≌．

∴，∴．

∵，∴，

當(dāng)與重合時(shí)，．

∴．