Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖象過原點，與x軸的另一個交點為

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）在x軸上方作x軸的平行線，交二次函數(shù)圖象于A、B兩點，過A、B兩點分別作x軸的垂線，垂足分別為點D、點C．當(dāng)矩形ABCD為正方形時，求m的值；

（3）在（2）的條件下，動點P從點A出發(fā)沿射線AB以每秒1個單位長度勻速運動，同時動點Q以相同的速度從點A出發(fā)沿線段AD勻速運動，到達(dá)點D時立即原速返回，當(dāng)動點Q返回到點A時，P、Q兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為t秒（）．過點P向x軸作垂線，交拋物線于點E，交直線AC于點F，問：以A、E、F、Q四點為頂點構(gòu)成的四邊形能否是平行四邊形．若能，請求出t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)矩形ABCD為正方形時，m的值為4；（3）以A、E、F、Q四點為頂點構(gòu)成的四邊形能為平行四邊形，t的值為4或6.

【解析】

（1）根據(jù)點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；

（2）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求出點A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出點C，D的坐標(biāo)，再利用正方形的性質(zhì)可得出關(guān)于m的方程，解之即可得出結(jié)論；

（3）由（2）可得出點A，B，C，D的坐標(biāo)，根據(jù)點A，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征及一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點E，F的坐標(biāo)，由且以A、E、F、Q四點為頂點的四邊形為平行四邊形可得出，分，，三種情況找出AQ，EF的長，由可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之取其合適的值即可得出結(jié)論．

（1）將，代入，得：，

解得，

∴該二次函數(shù)的解析式為．

（2）當(dāng) 時，，

解得：，，

∴點a的坐標(biāo)為（，m），點b的坐標(biāo)為（，m），

∴點d的坐標(biāo)為（，0），點c的坐標(biāo)為（，0）．

∵矩形abcd為正方形，

∴，

解得：，（舍去），．

∴當(dāng)矩形ABCD為正方形時，m的值為4．

（3）以A、E、F、Q四點為頂點構(gòu)成的四邊形能為平行四邊形．

由（2）可知：點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，點C的坐標(biāo)為，點D的坐標(biāo)為．

設(shè)直線AC的解析式為，

將，代入，

得，

解得，

∴直線ac的解析式為．

當(dāng)時， ，

∴點E的坐標(biāo)為（，），點F的坐標(biāo)為（，-t+4）．

∵以A、E、F、Q四點為頂點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形，且 ，

∴，分三種情況考慮：

①當(dāng)時，如圖1所示，，EF=，

∴，解得：（舍去），；

②當(dāng)時，如圖2所示，，EF=，

∴，

解得：（舍去），；

,, EF=，

，

解得（舍去），（舍去）

綜上所述，當(dāng)以A、E、F、Q四點為頂點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形時，t的值為4或6