Question

【題目】已知拋物線y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）與x軸分別交于A（x1 ， 0）、
B（x2 ， 0）兩點(diǎn)，直線y2=2x+t經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．

（1）已知A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為3、﹣1．
①當(dāng)a=1時(shí)，直接寫出拋物線y1和直線y2相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
②如圖，已知拋物線y1在3＜x＜4這一段位于直線y2的下方，在5＜x＜6這一段位于直線y2的上方，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)y=y1+y2的圖象與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)，探求x2﹣x1與a之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】
（1）解：①∵已知拋物線y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）經(jīng)過(guò)A（x1，0）、B（x2，0）兩點(diǎn)，當(dāng)a=1，

∴y1=（x﹣3）（x+1），

∵直線y2=2x+t經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，

∴0=2×3+t，

解得：t=﹣6，

∴y2=2x﹣6；

②設(shè)y1=a（x﹣3）（x+1），

由題意可得，當(dāng)x=4時(shí)，y1=5a＜2，

∴a＜ ，

當(dāng)x=5時(shí)，y1=12a＞4，

∴a＞ ，

∴ a＜

（2）解：∵直線y2過(guò)點(diǎn)A（x1，0），

∴0=2x1+t，∴t=﹣2x1，

∴y=y1+y2=a（x﹣x1）（x﹣x2）+2x﹣2x1=（x﹣x1）[a（x﹣x1）+2]

∴方程的根為x1，x2﹣ ，

∵函數(shù)y的圖象與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴x1=x2﹣ ，

∴x2﹣x1=

【解析】
（1）①根據(jù)已知條件得出當(dāng)a=1時(shí)，得到y(tǒng)1=（x﹣3）（x+1），由于直線y2=2x+t經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，得到方程0=2×3+t，得到t=﹣6，

于是得到結(jié)論；②設(shè)y1=a（x﹣3）（x+1），根據(jù)題意得出不等式即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件得到y(tǒng)=y1+y2=a（x﹣x1）（x﹣x2）+2x﹣2x1=（x﹣x1）[a（x﹣x1）+2]，根據(jù)函y的圖像與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)，于是得到結(jié)論。

【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用確定一次函數(shù)的表達(dá)式和拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，掌握確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法；一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．即可以解答此題．