Question

 等腰直角△ABC和⊙O如圖放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半徑為1，圓心O與直線AB的距離為5．現(xiàn)△ABC以每秒2個單位的速度向右移動，同時△ABC的邊長AB、BC又以每秒0.5個單位沿BA、BC方向增大．[來源:學(xué)+科+網(wǎng)]

1.當△ABC的邊(BC邊除外)與圓第一次相切時，點B移動了多少距離？

2. 若在△ABC移動的同時，⊙O也以每秒1個單位的速度向右移動，則△ABC從開始移動，到它的邊與圓最后一次相切，一共經(jīng)過了多少時間？

3.在⑵的條件下，是否存在某一時刻，△ABC與⊙O的公共部分等于⊙O的面積？若存在，求出恰好符合條件時兩個圖形移動了多少時間？若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

1.假設(shè)第一次相切時，△ABC移至△A^’B^’C^’處，A^’C^’與⊙O切于點E，連OE并延長，交B^’C^’于F．設(shè)⊙O與直線l切于點D，連OD，則OE⊥A^’C^’，OD⊥直線l．由切線長定理可知C^’E= C^’D，設(shè)C^’D=x，則C^’E= x，易知C^’F=x ∴x＋x=1   ∴x=－1  ∴CC^’=5－1－(－1)=5－ 

∴點C運動的時間為 

      ∴點B運動的的距離為

2.∵△ABC與⊙O從開始運動到最后一次相切時，路程差為6，速度差為1

∴從開始運動到最后一次相切的時間為6秒

3.∵△ABC與⊙O從開始運動到第二次相切時，路程差為4，速度差為1

∴從開始運動到第二次相切的時間為4秒， 此時△ABC移至△A^”B^”C^”處，

A^”B^”=1＋4×=3

連接B^”O并延長交A^”C^”于點P，易證B^”P⊥A^”C^”，且OP=＜1

∴此時⊙O與A^”C^”相交

∴不存在．

【解析】