【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與直線y=x﹣1交于A、B兩點.點A的橫坐標為﹣3,點B在y軸上,點P是y軸左側(cè)拋物線上的一動點,橫坐標為m,過點P作PC⊥x軸于C,交直線AB于D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當m為何值時,S四邊形OBDC=2S△BPD;
(3)是否存在點P,使△PAD是直角三角形?若存在,求出點P的坐標;若不存在,說明理由.
【答案】(1)y=x2+4x﹣1;(2)m=﹣,﹣2或時S四邊形OBDC=2S△BPD;
(3)P(﹣2,﹣5).
【解析】分析:(1)將x=0代入y=x-1求出B的坐標,將x=-3代入y=x-1求出A的坐標,由待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式;
(2)由P點的橫坐標為m可以表示出P、D的坐標,由此表示出S四邊形OBDC和2S△BPD建立方程求出其解即可.
(3)如圖2,當∠APD=90°時,設(shè)出P點的坐標,就可以表示出D的坐標,由△APD∽△FCD列出比例式求解即可;如圖3,當∠PAD=90°時,作AE⊥x軸于E,根據(jù)比例式表示出AD,再由△PAD∽△FEA列出比例式求解.
詳解:(1)∵y=x﹣1,
∴當x=0時,y=﹣1,
∴B(0,﹣1).
當x=﹣3時,y=﹣4,
∴A(﹣3,﹣4).
∵y=x2+bx+c與直線y=x﹣1交于A、B兩點,
∴,
∴,
∴拋物線的解析式為:y=x2+4x﹣1;
(2)∵P點橫坐標是m(m<0),
∴P(m,m2+4m﹣1),D(m,m﹣1)
如圖1①,作BE⊥PC于E,
∴BE=﹣m.
CD=1﹣m,OB=1,OC=﹣m,CP=1﹣4m﹣m2,
∴PD=1﹣4m﹣m2﹣1+m=﹣3m﹣m2,
∴,
解得:m1=0(舍去),m2=﹣2,m3=﹣;
如圖1②,作BE⊥PC于E,
∴BE=﹣m.
PD= m2+4m- 1-m+1= m2+3m,
∴,
解得:m=0(舍去)或m=(正值舍去),
∴m=﹣,﹣2或時S四邊形OBDC=2S△BPD;
(3))如圖2,
當∠APD=90°時,設(shè)P(m,m2+4m﹣1),則D(m,m﹣1),
∴AP=m+4,CD=1﹣m,OC=﹣m,CP=1﹣4m﹣m2,
∴DP=1﹣4m﹣m2﹣1+m=﹣3m﹣m2.
在y=x﹣1中,當y=0時,x=1,
∴(1,0),
∴OF=1,
∴CF=1﹣m.AF=4.
∵PC⊥x軸,
∴∠PCF=90°,
∴∠PCF=∠APD,
∴CF∥AP,
∴△APD∽△FCD,,
∴,
解得:m=1(舍去)或m=﹣2,
∴P(﹣2,﹣5)
如圖3,當∠PAD=90°時,作AE⊥x軸于E,
∴∠AEF=90°.CE=﹣3﹣m,EF=4,AF=4,PD=1﹣m﹣(1﹣4m﹣m2)=3m+m2.
∵PC⊥x軸,
∴∠DCF=90°,
∴∠DCF=∠AEF,
∴AE∥CD.
∴,
∴AD=(﹣3﹣m).
∵△PAD∽△FEA,
∴,
∴,
∴m=﹣2或m=﹣3
∴P(﹣2,﹣5)或(﹣3,﹣4)與點A重合,舍去,
∴P(﹣2,﹣5).
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【題目】如果A、B、C三點在同一直線上,且線段AB=6 cm,BC=4 cm,若M,N分別為AB,BC的中點,那么M,N兩點之間的距離為( )
A. 5 cm B. 1 cm C. 5或1 cm D. 無法確定
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【題目】2019年10月1日,中華人民共和國成立70周年,成都市民通過各種方式觀看了國慶閱兵直播.武侯區(qū)某街道辦為了解居民的“觀看方式”和 “最喜歡的分列式方隊”的情況,隨機調(diào)查了本街道部分居民(每位被調(diào)查者需完成以上兩個方面的問題),并將調(diào)查結(jié)果繪制成了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,其中通過“電視端”“方式觀看的居民有320人.
請根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)求本次隨機調(diào)查的總?cè)藬?shù);
(2)請補全條形統(tǒng)計圖;
(3)若武侯區(qū)該街道居民約有60000人,試估計其中最喜歡“護旗方隊”的人數(shù).
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【題目】如圖,在五邊形ABCDE中,已知∠BAE=120°,∠B=∠E=90°,AB=BC=2,AE=DE=4,在BC、DE上分別找一點M、N,若要使△AMN的周長最小時,則△AMN的最小周長為______.
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【題目】如圖是由邊長為1 的正方體搭成的立體圖形,第(1)個圖形由1個正方體搭成,第(2)個圖形由4個正方體搭成,第(3)個圖形由10個正方體搭成,以此類推,搭成第(6)個圖形所需要的正方體個數(shù)是( )
A.84個B.56個C.37個D.36個
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【題目】“端午節(jié)”是我國的傳統(tǒng)佳節(jié),民間歷來有吃“粽子”的習(xí)俗. 我市某食品廠為了解市民對去年銷量較好的肉餡粽、豆沙餡粽、紅棗餡粽、蛋黃餡粽(以下分別用A、B、C、D表示)這四種不同口味粽子的喜愛情況,在節(jié)前對某居民區(qū)市民進行了抽樣調(diào)查,并將調(diào)查情況繪制成如下兩幅統(tǒng)計圖(尚不完整). 請根據(jù)以上信息回答:
(1)本次參加抽樣調(diào)查的居民有多少人?
(2)將兩幅不完整的圖補充完整;
(3)若居民區(qū)有8000人,請估計愛吃D粽的人數(shù);
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【題目】如圖,已知以E(3,0)為圓心,5為半徑的☉E與x軸交于A,B兩點,與y軸交于C點,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A,B,C三點,頂點為F.
(1)求A,B,C三點的坐標;
(2)求拋物線的解析式及頂點F的坐標;
(3)已知M為拋物線上的一動點(不與C點重合),試探究:①若以A,B,M為頂點的三角形面積與△ABC的面積相等,求所有符合條件的點M的坐標;
②若探究①中的M點位于第四象限,連接M點與拋物線頂點F,試判斷直線MF與☉E的位置關(guān)系,并說明理由.
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【題目】某次大型活動,組委會啟用無人機航拍活動過程,在操控?zé)o人機時應(yīng)根據(jù)現(xiàn)場狀況調(diào)節(jié)高度,已知無人機在上升和下降過程中速度相同,設(shè)無人機的飛行高度為y(米),操控?zé)o人機的時間為x(分),y與x之間的函數(shù)圖像如圖所示.
(1)無人機的速度為________米/分;
(2)求線段BC所表示的y與x之間函數(shù)表達式;
(3)無人機在50米上空持續(xù)飛行時間為_________分.(直接填結(jié)果)
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【題目】已知如圖1,正方形ABCD,△CEF為等腰直角三角形,其中∠CFE=90°,CF=EF,連接CE,AE,AC,點G是AE的中點,連接FG
(1)用等式表示線段BF與FG的數(shù)量關(guān)系是 .
(2)若將△CEF繞頂點C旋轉(zhuǎn),使得點F恰好在線段AC上,并且點E在線段AC的上方,點G仍是AE的中點,連接FG,DF
①在圖2中依據(jù)題意補全圖形;
②求證:DF=FG.
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