Question

5．定義：長(zhǎng)寬比為$\sqrt{n}$：1（n為正整數(shù)）的矩形稱(chēng)為$\sqrt{n}$矩形，下面，我們通過(guò)折疊的方式折出一個(gè)$\sqrt{2}$矩形，如圖①所示．
操作1：將正方形ABCD沿過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)折疊，使折疊后的點(diǎn)C落在對(duì)角線(xiàn)BD上的點(diǎn)G處，折痕為BH．
操作2：將AD沿過(guò)點(diǎn)G的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)A，點(diǎn)D分別落在邊AB，CD上，折痕為EF，則四邊形BCEF為$\sqrt{2}$矩形．
證明：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1．
則BD=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
由折疊性質(zhì)可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，則四邊形BCEF為矩形．
∴∠A=∠BFE．∴EF∥AD．∴$\frac{BG}{BD}$=$\frac{BF}{AB}$，即$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{BF}{1}$，∴BF=$\frac{1}{\sqrt{2}}$．
∴BC：BF=1：$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}：1$．∴四邊形BCEF為$\sqrt{2}$矩形．
閱讀以上內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：
（1）在圖①中，所有與CH相等的線(xiàn)段是GH，DG，tan∠HBC的值是$\sqrt{2}$-1；
（2）已知四邊形BCEF為$\sqrt{2}$矩形，模仿上述操作，得到四邊形BCMN，如圖②．求證：四邊形BCMN是$\sqrt{3}$矩形；
（3）將圖②中$\sqrt{3}$矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一個(gè)“$\sqrt{n}$矩形”．求n的值．

Answer 1

分析 （1）由折疊即可得到DG=GH=CH，設(shè)HC=x，則有DG=GH=x，DH=$\sqrt{2}$x，根據(jù)DC=DH+CH=1，就可求出HC，然后運(yùn)用三角函數(shù)的定義即可求出tan∠HBC的值；
（2）只需借鑒閱讀中證明“四邊形BCEF為$\sqrt{2}$矩形”的方法就可解決問(wèn)題；
（3）同（2）中的證明可得：將$\sqrt{3}$矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一個(gè)“$\sqrt{4}$矩形”，將$\sqrt{4}$矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一個(gè)“$\sqrt{5}$矩形”，將$\sqrt{5}$矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一個(gè)“$\sqrt{6}$矩形”，由此就可得到n的值．

解答 解：（1）由折疊可得：
DG=HG，GH=CH，
∴DG=GH=CH．
設(shè)HC=x，則DG=GH=x．
∵∠DGH=90°，
∴DH=$\sqrt{2}$x，
∴DC=DH+CH=$\sqrt{2}$x+x=1，
解得x=$\sqrt{2}$-1，
∴tan∠HBC=$\frac{HC}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{1}$=$\sqrt{2}$-1，
故答案為：GH、DG，$\sqrt{2}$-1；

（2）∵BC=1，EC=BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴BE=$\sqrt{E{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
由折疊可得BP=BC=1，∠FNM=∠BNM=90°，∠EMN=∠CMN=90°．
∵四邊形BCEF是矩形，
∴∠F=∠FEC=∠C=∠FBC=90°，
∴四邊形BCMN是矩形，∠BNM=∠F=90°，
∴MN∥EF，
∴$\frac{BP}{BE}$=$\frac{BN}{BF}$，即BP•BF=BE•BN，
∴1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$BN，
∴BN=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴BC：BN=1：$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$：1，
∴四邊形BCMN是$\sqrt{3}$的矩形；

（3）同理可得：
將$\sqrt{3}$矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一個(gè)“$\sqrt{4}$矩形”，
將$\sqrt{4}$矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一個(gè)“$\sqrt{5}$矩形”，
將$\sqrt{5}$矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一個(gè)“$\sqrt{6}$矩形”，
所以將圖②中的$\sqrt{3}$矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一個(gè)“$\sqrt{6}$矩形”，

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例、勾股定理等知識(shí)，考查了閱讀理解能力、操作能力、歸納探究能力、推理能力，運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題的能力，是一道好題．