Question

【題目】如圖①，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四邊形ADEF是正方形，點(diǎn)B、C分別在邊AD、AF上，此時(shí)BD=CF,BD⊥CF成立.

（1）當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 時(shí)，如圖②，BD=CF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖③，延長(zhǎng)DB交CF于點(diǎn)H；

（ⅰ）求證：BD⊥CF；

（ⅱ）當(dāng)AB=2，AD=時(shí)，求線(xiàn)段DH的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）①詳見(jiàn)解析；② .

【解析】試題分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)和全等三角形的判定定理證明

≌證明結(jié)論；
（2）①根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、垂直的定義證明即可；
②連接DF，延長(zhǎng)AB交DF于M，根據(jù)題意和等腰直角三角形的性質(zhì)求出DM、BM的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可得到答案．

試題解析：(1)BD=CF.

理由如下：由題意得，∠CAF=∠BAD= ，

在△CAF和△BAD中，

∴△CAF≌△BAD，

∴BD=CF；

(2)①由(1)得△CAF≌△BAD，

∴∠CFA=∠BDA，

，即BD⊥CF；

②連接DF，延長(zhǎng)AB交DF于M，

∵四邊形ADEF是正方形,

∴AM=DM=3，BM=AMAB=1，

∵△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

∴∠BAD=，

∴AM⊥DF，

又

∴△DMB∽△DHF，

即

解得,