【題目】如圖1,點O在線段AB上,AO=4,OB=2,OC為射線,且∠BOC=60°,動點P以每秒2個單位長度的速度從點O出發(fā),沿射線OC做運動,設(shè)運動時間為t秒.
(1)當(dāng)t=1秒時,則OP= ,S△ABP= ;
(2)當(dāng)△ABP是直角三角形時,求t的值;
(3)如圖2,當(dāng)AP=AB時,過點A作AQ∥BP,并使得∠QOP=∠B,求AQBP的值.為了求AQBP的值,小華同學(xué)嘗試過O點作OE∥AP交BP于點E,試利用小華同學(xué)給我們的啟發(fā)補全圖形并求AQBP的值.
【答案】(1)2,3 ;(2)當(dāng)△ABP是直角三角形時,t=2或t=;(3)補全圖形見解析,AQPB=12.
【解析】
(1)作PD⊥AB于點D,利用三角函數(shù)求解;
(2)當(dāng)△ABP是直角三角形時,分∠A=90°、∠B=90°、∠APB=90°,畫出對應(yīng)圖形,利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半及勾股定理求解;
(3)過點O作OE∥AP,交PB于點E,構(gòu)造一對相似三角形,即△OAQ∽△PEO,利用對應(yīng)邊成比例求解.
(1)當(dāng)t=1秒時,OP=2t=2×1=2.
如答圖1,過點P作PD⊥AB于點D.
在Rt△POD中,PD=OPsin60°=2×=,
∴S△ABP=ABPD=×(4+2)×=3.
故答案為:2,3.
(2)當(dāng)△ABP是直角三角形時,
①若∠A=90°.
∵∠BOC=60°且∠BOC>∠A,
∴∠A≠90°,故此種情形不存在;
②若∠B=90°,如答圖2所示:
∵∠BOC=60°,
∴∠BPO=30°,
∴OP=2OB=4,又OP=2t,
∴t=2;
③若∠APB=90°,如答圖3所示:
過點P作PD⊥AB于點D,則OD=OPsin30°=t,PD=OPsin60°=t,
∴AD=OA+OD=4+t,BD=OB-OD=2-t.
在Rt△ABP中,由勾股定理得:PA2+PB2=AB2
∴(AD2+PD2)+(BD2+PD2)=AB2,
即[(4+t)2+(t)
解方程得:t=或t=(負值舍去),
∴t=.
綜上所述,當(dāng)△ABP是直角三角形時,t=2或t=.
(3)如答圖4,過點O作OE∥AP,交PB于點E,
則有=,
∴PE=PB.
∵AP=AB,
∴∠APB=∠B,
∵OE∥AP,
∴∠OEB=∠APB,
∴∠OEB=∠B,
∴OE=OB=2,∠3+∠B=180°.
∵AQ∥PB,
∴∠OAQ+∠B=180°,
∴∠OAQ=∠3;
∵∠AOP=∠1+∠QOP=∠2+∠B,∠QOP=∠B,
∴∠1=∠2;
∴△OAQ∽△PEO,
∴=,即,
化簡得:AQPB=12.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1為放置在水平桌面l上的臺燈,底座的高AB為5cm,長度均為20cm的連桿BC、CD與AB始終在同一平面上.
(1)轉(zhuǎn)動連桿BC,CD,使∠BCD成平角,∠ABC=150°,如圖2,求連桿端點D離桌面l的高度DE.
(2)將(1)中的連桿CD再繞點C逆時針旋轉(zhuǎn),經(jīng)試驗后發(fā)現(xiàn),如圖3,當(dāng)∠BCD=150°時臺燈光線最佳.求此時連桿端點D離桌面l的高度比原來降低了多少厘米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知某個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(1,2),B(2,﹣1),C(4,﹣1),且該二次函數(shù)的最小值是﹣2.
(1)請在圖中描出該函數(shù)圖象上另外的兩個點,并畫出圖象;
(2)求出該二次函數(shù)的解析.
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【題目】如圖,射線AN上有一點B,AB=5,tan∠MAN=,點C從點A出發(fā)以每秒3個單位長度的速度沿射線AN運動,過點C作CD⊥AN交射線AM于點D,在射線CD上取點F,使得CF=CB,連結(jié)AF.設(shè)點C的運動時間是t(秒)(t>0).
(1)當(dāng)點C在點B右側(cè)時,求AD、DF的長.(用含t的代數(shù)式表示)
(2)連結(jié)BD,設(shè)△BCD的面積為S平方單位,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.
(3)當(dāng)△AFD是軸對稱圖形時,直接寫出t的值.
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【題目】《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作,奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架.其中卷第九“勾股”章,主要講述了以測量問題為中心的直角三角形三邊互求的關(guān)系.其中記載:“今有邑,東西七里,南北九里,各中開門,出東門一十五里有木,問:出南門幾何步而見木?”譯文:“如圖,今有一座長方形小城,東西向城墻長7里,南北向城墻長9里,各城墻正中均開一城門.走出東門15里處有棵大樹,問走出南門多少步恰好能望見這棵樹?”(注:1里=300步)你的計算結(jié)果是:出南門________步而見木.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,BD為△ABC外接圓⊙O的直徑,且∠BAE=∠C.
(1)求證:AE與⊙O相切于點A;
(2)若AE∥BC,BC=8,AB=2,求⊙O的半徑.
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【題目】定義:我們知道,四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了兩個三角形,如果這兩個三角形相似(不全等),我們就把這條對角線叫做這個四邊形的“相似對角線”.
理解:(1)如圖1,已知Rt△ABC在正方形網(wǎng)格中,請你只用無刻度的直尺在網(wǎng)格中找到一點D,使四邊形ABCD是以AC為“相似對角線”的四邊形(保留畫圖痕跡,找出3個即可);
(2)如圖2,在四邊形ABCD中,∠ABC=80°,∠ADC=140°,對角線BD平分∠ABC.求證:BD是四邊形ABCD的“相似對角線”.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3這七個數(shù)中,隨機抽取一個數(shù)記為m,若數(shù)m使關(guān)于x的分式方程﹣1=的解是非負數(shù),且使得二次函數(shù)y=(m﹣2)x2+2x+1的圖象與x軸有交點,那么滿足條件所有m之和是( 。
A.4B.3C.2D.1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù).
(1)若此函數(shù)圖象與軸只有一個交點,試寫出與滿足的關(guān)系式.
(2)若,點,,是該函數(shù)圖象上的3個點,試比較,,的大小.
(3)若,當(dāng)時,函數(shù)隨的增大而增大,求的取值范圍.
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