Question

【題目】如圖，射線AN上有一點(diǎn)B，AB＝5，tan∠MAN＝，點(diǎn)C從點(diǎn)A出發(fā)以每秒3個(gè)單位長度的速度沿射線AN運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)C作CD⊥AN交射線AM于點(diǎn)D，在射線CD上取點(diǎn)F，使得CF＝CB，連結(jié)AF．設(shè)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t（秒）（t＞0）．

（1）當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，求AD、DF的長．（用含t的代數(shù)式表示）

（2）連結(jié)BD，設(shè)△BCD的面積為S平方單位，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

（3）當(dāng)△AFD是軸對稱圖形時(shí)，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）AD＝5t，DF=t+5．（2）當(dāng)0＜t＜時(shí)，S＝﹣6t2+10t．當(dāng)t＞時(shí)，S＝6t2﹣10t．（3）t的值為或或．

【解析】

(1)利用勾股定理算出AD,表示出CB,即可表示出DF.

(2)分別討論0＜t＜時(shí)和t＞時(shí),利用面積公式計(jì)算即可.

(3)分別討論當(dāng)DF＝AD時(shí)的一種情況、當(dāng)AF＝DF時(shí)的兩種情況.

解：（1）在Rt△ACD中，AC＝3t，tan∠MAN＝，

∴CD＝4t．

∴AD＝，

當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，CB＝3t﹣5，

∴CF＝CB．

∴DF＝4t﹣（3t﹣5）＝t+5．

（2）當(dāng)0＜t＜時(shí)，S＝（5﹣3t）4t＝﹣6t2+10t．

當(dāng)t＞時(shí)，S＝（3t﹣5）4t＝6t2﹣10t．

（3）①如圖1中，當(dāng)DF＝AD時(shí)，△ADF是軸對稱圖形．

則有5﹣3t﹣4t＝5t，解得t＝，

②如圖2中，當(dāng)AF＝DF時(shí)，△ADF是軸對稱圖形．

作FH⊥AD．

∵FA＝DF，

∴AH＝DH＝t，

由cos∠FDH＝，可得，解得t＝．

③如圖3中，當(dāng)AF＝DF時(shí)，△ADF是軸對稱圖形．

作FH⊥AD．

∵FA＝DF，

∴AH＝DH＝t，

由cos∠FDH＝，可得，解得t＝．

綜上所述，滿足條件的t的值為或或．