Question

如圖所示，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=∠D=90°，以AB為直徑的⊙O與CD相切于P，若AD=m，BC=n，CD=a．求證：
（1）PC、PD是關于x的方程：x²-ax+mn=0的兩根；
（2）a²=4mn．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）首先利用切線的判定得出，△PAD∽△BPC進而求出PD•PC=m•n，即可得出答案；
（2）利用CD=PD+PC，PD=PC，CD=a，即可得出PC=

a

2

，則PC²=

a2

4

，進而利用PC²=PC•PD，PD•PC=m•n，求出即可．

解答：證明：（1）連結OP．∵CD切⊙O于P，∴OP⊥CD，
∵AD⊥CD，BC⊥CD，∴AD∥OP∥BC．
又∵OA=OB，∴PC=PD，
∵CD=a，∴PC+PD=CD=a，
連結PA、PB，∵AB是⊙O 的直徑，∴∠APB=90°，∴∠APD+∠BPC=90°，
∵∠D=90°，∴∠APD+∠PAD=90°，∴∠PAD=∠BPC，
又∵∠D=∠C=90°，∴△PAD∽△BPC，
∴

PD

BC

=

AD

PC

，∴PD•PC=AD•BC．
∵AD=m，BC=n，∴PD•PC=m•n，
故PC、PD是關于x的方程x²-ax+mn=0的兩根．

（2）∵CD=PD+PC，PD=PC，CD=a，
∴PC=

a

2

，∴PC²=

a2

4

，
又PC²=PC•PD，PD•PC=m•n，
∴

a2

4

=mn，∴a²=4mn．

點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及一元二次方程和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，通過本題加深了這些知識的聯(lián)系和溝通，提高了應用能力．