Question

如圖，直線y=-x+5分別與x軸、y軸交于A、B兩點．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）已知點C坐標為（4，0），設(shè)點C關(guān)于直線AB的對稱點為D，請直接寫出點D的坐標；
（3）請在直線AB和y軸上分別找一點M、N使△CMN的周長最短，在平面直角坐標系中作出圖形，并求出點N的坐標．

Answer 1

考點：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,一次函數(shù)圖象上點的坐標特征,軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：（1）令x=0，則y=5；令y=0，則x=5，即可求得；
（2）首先根據(jù)直線AB的解析式可知△OAB是等腰直角三角形，然后根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可求出點D的坐標；
（3）作出點C關(guān)于直線y軸的對稱點C′，連接DE交AB于點M，交y軸于點N，則此時△CMN的周長最短．由D、E兩點的坐標利用待定系數(shù)法求出直線DC′的解析式，再根據(jù)y軸上點的坐標特征，即可求出點N的坐標．

解答：解：（1）∵直線y=-x+5分別與x軸、y軸交于A、B兩點
令x=0，則y=5；令y=0，則x=5
∴點A坐標為（5，0）、點B 坐標為（0，5）；

（2）點C 關(guān)于直線AB的對稱點D的坐標為（5，1），

（3）作點C關(guān)于y軸的對稱點C′，則C′的坐標為（-4，0）
聯(lián)結(jié)C′D交AB于點M，交y軸于點N，
∵點C、C′關(guān)于y軸對稱
∴NC=NC′，
又∵點C、D關(guān)于直線AB對稱，
∴CM=DM，
此時，△CMN的周長=CM+MN+NC=DM+MN+NC′=DC′周長最短；
設(shè)直線C′D的解析式為y=kx+b
∵點C′的坐標為（-4，0），點D的坐標為（5，1）
∴

1=5k+b 0=-4k+b

，解得

k= 1 9 b= 4 9

∴直線C′D的解析式為y=

1

9

x+

4

9

，
與y軸的交點N的坐標為  （0，

4

9

）．

點評：本題考查了一次函數(shù)的綜合運用．關(guān)鍵是由軸對稱的知識，結(jié)合圖形，得出關(guān)于直線y=-x+5軸對稱的兩點坐標關(guān)系，軸對稱的性質(zhì)及軸對稱-最短路線問題，綜合性較強，有一定難度．