Question

如圖：已知在正方形ABCD中，E是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，且∠ADE=∠FDE．
（1）求證：DF=AB+FB；
（2）以E為圓心EB為半徑作⊙E，試判斷⊙E與直線DF與的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，若CD=4cm，點(diǎn)M在線段DF上從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，速度為0.5cm/s，以M為圓心，MD為半徑作⊙M．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，⊙M與⊙E相切？

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）作EM⊥DF，交DF于點(diǎn)M，連接EF，運(yùn)用RT△DAE≌RT△DME及RT△EMF≌RT△EBF即可得出DF=AB+FB；
（2）由AE=EM，且∠EMD=90°即可得出，⊙E與直線DF相切；
（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，先求出DN，再得出ME=2+0.5t，MN=4-0.5t，由勾股定理即可求出時(shí)間t．

解答：解：（1）如圖1，作EM⊥DF，交DF于點(diǎn)M，連接EF，

∵∠ADE=∠FDE．∠EAD=∠EMD=90°，
∴AE=EM，
在RT△DAE和RT△DME中，

AE=EM DE=DE

∴RT△DAE≌RT△DME（HL）
∴AD=DM，
∴AB=DM，
∵E是邊AB的中點(diǎn)，
∴EB=EM，
∵EF=EF，
在RT△EMF和RT△EBF中，

EB=EM EF=EF

，
∴RT△EMF≌RT△EBF（HL），
∴MF=FB，
∵DF=DM+MF，
∴DF=AB+FB．
（2）由（1）知AE=EM，且∠EMD=90°，
∵E是邊AB的中點(diǎn)，
∴EB=EM，
∴以E為圓心EB為半徑的⊙E與直線DF相切，
（3）如圖2，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，

∵CD=4cm，
∴EN=4cm，DE=

AD2+AE2

=

42+22

=2

5

，
∵⊙E與直線DF相切，
∴DN=DA=4，
∵⊙M與⊙E相切，DM=0.5t
∴ME=2+0.5t，MN=4-0.5t，
∴在RT△MNE中有MN²+EN²=ME²，
∴（4-0.5t）²+2²=（2+0.5t）²，
解得t=

8

3

．
∴當(dāng)M運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

8

3

秒時(shí)，⊙M與⊙E相切．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的綜合題．涉及全等三角形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)及勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，找出線段的關(guān)系運(yùn)用勾股定理求解．