【題目】如圖,拋物線L:y=ax2+bx+c與x軸交于A、B(3,0)兩點(A在B的左側),與y軸交于點C(0,3),已知對稱軸x=1.

(1)求拋物線L的解析式;
(2)將拋物線L向下平移h個單位長度,使平移后所得拋物線的頂點落在△OBC內(nèi)(包括△OBC的邊界),求h的取值范圍;
(3)設點P是拋物線L上任一點,點Q在直線l:x=﹣3上,△PBQ能否成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形?若能,求出符合條件的點P的坐標;若不能,請說明理由.

【答案】
(1)

解:∵拋物線的對稱軸x=1,B(3,0),

∴A(﹣1,0)

∵拋物線y=ax2+bx+c過點C(0,3)

∴當x=0時,c=3.

又∵拋物線y=ax2+bx+c過點A(﹣1,0),B(3,0)

,

∴拋物線的解析式為:y=﹣x2+2x+3


(2)

解:∵C(0,3),B(3,0),

∴直線BC解析式為y=﹣x+3,

∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,

∴頂點坐標為(1,4)

∵對于直線BC:y=﹣x+1,當x=1時,y=2;將拋物線L向下平移h個單位長度,

∴當h=2時,拋物線頂點落在BC上;

當h=4時,拋物線頂點落在OB上,

∴將拋物線L向下平移h個單位長度,使平移后所得拋物線的頂點落在△OBC內(nèi)(包括△OBC的邊界),

則2≤h≤4


(3)

解:設P(m,﹣m2+2m+3),Q(﹣3,n),

①當P點在x軸上方時,過P點作PM垂直于y軸,交y軸與M點,過B點作BN垂直于MP的延長線于N點,如圖所示:

∵B(3,0),

∵△PBQ是以點P為直角頂點的等腰直角三角形,

∴∠BPQ=90°,BP=PQ,

則∠PMQ=∠BNP=90°,∠MPQ=∠NBP,

在△PQM和△BPN中, ,

∴△PQM≌△BPN(AAS),

∴PM=BN,

∵PM=BN=﹣m2+2m+3,根據(jù)B點坐標可得PN=3﹣m,且PM+PN=6,

∴﹣m2+2m+3+3﹣m=6,

解得:m=1或m=0,

∴P(1,4)或P(0,3).

②當P點在x軸下方時,過P點作PM垂直于l于M點,過B點作BN垂直于MP的延長線于N點,

同理可得△PQM≌△BPN,

∴PM=BN,

∴PM=6﹣(3﹣m)=3+m,BN=m2﹣2m﹣3,

則3+m=m2﹣2m﹣3,

解得m=

∴P( )或( , ).

綜上可得,符合條件的點P的坐標是(1,4),(0,3),( )和( , ).


【解析】(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可;(2)先求出直線BC解析式為y=﹣x+3,再求出拋物線頂點坐標,得出當x=1時,y=2;結合拋物線頂點坐即可得出結果;(3)設P(m,﹣m2+2m+3),Q(﹣3,n),由勾股定理得出PB2=(m﹣3)2+(﹣m2+2m+3)2 , PQ2=(m+3)2+(﹣m2+2m+3﹣n)2 , BQ2=n2+36,過P點作PM垂直于y軸,交y軸與M點,過B點作BN垂直于MP的延長線于N點,由AAS證明△PQM≌△BPN,得出MQ=NP,PM=BN,則MQ=﹣m2+2m+3﹣n,PN=3﹣m,得出方程﹣m2+2m+3﹣n=3﹣m,解方程即可.

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(1)請將上面的作法補充完整;

(2)OCD≌△O′C′D′的依據(jù)是   

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