【題目】ABC中,AB=AC,BAC=α,點(diǎn)PABC內(nèi)一點(diǎn),且PAC+PCA=,連接PB,試探究PA、PB、PC滿足的等量關(guān)系.

(1)當(dāng)α=60°時,將△ABP繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACP′,連接PP′,如圖1所示.由△ABP≌△ACP′可以證得△APP′是等邊三角形,再由∠PAC+∠PCA=30°可得∠APC的大小為   度,進(jìn)而得到△CPP′是直角三角形,這樣可以得到PA、PB、PC滿足的等量關(guān)系為   ;

(2)如圖2,當(dāng)α=120°時,參考(1)中的方法,探究PA、PB、PC滿足的等量關(guān)系,并給出證明;

(3)PA、PB、PC滿足的等量關(guān)系為   

【答案】1150,PA2+PC2=PB2;(23PA2+PC2=PB2;(34PA2sin2+PC2=PB2

【解析】試題分析:(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到△PAP′為等邊三角形,得到∠P′PC=90°,根據(jù)勾股定理解答即可;
(2)如圖2,作將△ABP繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACP′,連接PP′,作AD⊥PP′于D,根據(jù)余弦的定義得到PP′=PA,根據(jù)勾股定理解答即可;
(3)與(2)類似,根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理和余弦、正弦的關(guān)系計(jì)算即可.

試題解析:

(1)∵△ABP≌△ACP′,

∴AP=AP′,

由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知,∠PAP′=60°,P′C=PB,

∴△PAP′為等邊三角形,

∴∠APP′=60°,

∵∠PAC+PCA==30°

∴∠APC=150°,

∴∠P′PC=90°,

∴PP′2+PC2=P′C2,

∴PA2+PC2=PB2,

故答案為:150,PA2+PC2=PB2

(2)如圖2,作將ABP繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到ACP′,連接PP′,

作ADPP′于D,

由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知,∠PAP′=120°,P′C=PB,

∴∠APP′=30°,

∵∵∠PAC+PCA==60°,

∴∠APC=120°,

∴∠P′PC=90°,

∴PP′2+PC2=P′C2,

∵∠APP′=30°,

PD=PA,

PP′=PA

∴3PA2+PC2=PB2;

(3)如圖2,與(2)的方法類似,

作將ABP繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)α得到ACP′,連接PP′,

作ADPP′于D,

由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知,∠PAP′=α,P′C=PB,

∴∠APP′=90°

∵∵∠PAC+PCA=,

∴∠APC=180°,

∴∠P′PC=180°90°=90°

∴PP′2+PC2=P′C2,

∵∠APP′=90°,

PD=PAcos90°=PAsin

PP′=2PAsin,

4PA2sin2+PC2=PB2,

故答案為:4PA2sin2+PC2=PB2

練習(xí)冊系列答案
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【題目】某學(xué)校為使學(xué)生及時穿上合身的校服,現(xiàn)提前對該校八年級四班學(xué)生即將所穿校服型號情況進(jìn)行了摸底調(diào)查,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖兩個不完整的統(tǒng)計(jì)圖(校服型號以身高作為標(biāo)準(zhǔn),共分為 6 個型號)

根據(jù)以上信息,解答下列問題(請寫出每個空所需的求解步驟)

1)該班共有多少名學(xué)生?其中穿 175 型號校服的學(xué)生有多少?

2)在條形統(tǒng)計(jì)圖中,請把空缺部分補(bǔ)充完整;(提醒:有兩處需要補(bǔ)充)

3)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,185 型校服所對應(yīng)的扇形圓心角的大小是 度;

4)該班學(xué)生所穿校服型號的眾數(shù)是 型,中位數(shù)是 型。

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1)用含字母和的式子表示陰影部分的面積;

2)當(dāng)=4,=3,=1,=2時,陰影部分面積是多少?(3

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【題目】如圖,數(shù)軸上的AB兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別為a、b,ab0,ab0

1)原點(diǎn)O的位置在

A.點(diǎn)A的右邊

B.點(diǎn)B的左邊

C.點(diǎn)A與點(diǎn)B之間 ,且靠近點(diǎn)A

D.點(diǎn)A與點(diǎn)B之間 ,且靠近點(diǎn)B

2)若ab2,

①利用數(shù)軸比較大小,a 1,b 1;(填“>”、“<”或“=”).

②化簡:|a1|+|b1|.

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【題目】已知:關(guān)于x的一元二次方程ax22a1x+a2=0a0).

1)求證:方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根;

2)設(shè)方程的兩個實(shí)數(shù)根分別為x1,x2(其中x1x2).若y是關(guān)于a的函數(shù),且y=ax2x1,求這個函數(shù)的表達(dá)式;

3)將(2)中所得的函數(shù)的圖象在直線a=2的左側(cè)部分沿直線a=2翻折,圖象的其余部分保持不變,得到一個新的圖象.請你結(jié)合這個新的圖象直接寫出:當(dāng)關(guān)于a的函數(shù)y=2a+b的圖象與此圖象有兩個公共點(diǎn)時,b的取值范圍是  

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A. B. C. D.

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【題目】春節(jié)期間,某商場計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種商品,已知購進(jìn)甲商品2件和乙商品3件共需270元;購進(jìn)甲商品3件和乙商品2件共需230元.

(1)求甲、乙兩種商品每件的進(jìn)價分別是多少元?

(2)商場決定甲商品以每件40元出售,乙商品以每件90元出售,為滿足市場需求,需購進(jìn)甲、乙兩種商品共100件,且甲種商品的數(shù)量不少于乙種商品數(shù)量的4倍,請你求出獲利最大的進(jìn)貨方案,并求出最大利潤.

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A. OE=DC B. OA=OC C. ∠BOE=∠OBA D. ∠OBE=∠OCE

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