Question

將兩個不全等的直角三角板，Rt△AOB與Rt△DOE疊放在一起，使得兩直角∠AOB與∠DOE的頂點重合，已知∠OAB=∠ODE=30°，下圖是直角三角板△DOE繞頂點O順時針旋轉(zhuǎn)三個瞬間的平面圖形．
（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，AD：BE的值是否是定值？請利用圖1求出這個定值或說明不是定值的理由；
（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，AD與BE有什么位置關(guān)系？請分別利用圖2、圖3說明理由．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：常規(guī)題型

分析：（1）如圖1，由∠AOB=∠DOE=90°得到∠AOD=∠BOE，再利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到

OA

OB

OD

OE

=

3

，于是根據(jù)相似的判定方法得到△AOD∽△BOE，所以

AD

BE

=

OA

OB

=

3

；
（2）如圖2，延長EB交AD于F，由

OA

OB

=

OD

OE

，∠AOD=∠BOE=90°可判斷△AOD∽△BOE，則∠ADO=∠BEO，然后計算出∠DBF+∠FDB=90°，于是可判斷BE⊥AD；如圖3，AD與BE相交于P，與前面的方法得到AD⊥BE．

解答：解：（1）AD：BE的值是定值．
如圖1，∵∠AOB=∠DOE=90°，
∴∠AOB-∠BOD=∠DOE-∠BOD，
即∠AOD=∠BOE，
∵∠OAB=∠ODE=30°，
∴

OA

OB

=

3

，

OD

OE

=

3

，
∴

OA

OB

=

OD

OE

，
∴△AOD∽△BOE，
∴

AD

BE

=

OA

OB

=

3

；
（2）AD⊥BE．理由如下：
如圖2，延長EB交AD于F，
∵

OA

OB

=

OD

OE

，
而∠AOD=∠BOE=90°，
∴△AOD∽△BOE，
∴∠ADO=∠BEO，
∵∠BEO+∠OBE=90°，∠OBE=∠DBF，
∴∠DBF+∠FDB=90°，
∴∠DFB=90°，
∴BE⊥AD；
如圖3，AD與BE相交于P，
∵∠AOB=∠DOE=90°，
∴∠AOB+∠BOD=∠DOE+∠BOD，
即∠AOD=∠BOE，
∵

OA

OB

=

OD

OE

=

3

，
∴△AOD∽△BOE，
∴∠1=∠2，
∵∠2+∠3=90°，∠3=∠4，
∴∠1+∠4=90°，
∴∠DPE=90°，
∴AD⊥BE．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．應(yīng)用相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．