【題目】已知:如圖1,點、、依次在直線上,現(xiàn)將射線繞點沿順時針方向以每秒的速度旋轉,同時射線繞點沿逆時針方向以每秒的速度旋轉,如圖,設旋轉時間為(秒秒).
(1)用含的代數(shù)式表示的度數(shù).
(2)在運動過程中,當第二次達到時,求的值.
(3)在旋轉過程中是否存在這樣的,使得射線是由射線、射線、射線中的其中兩條組成的角(指大于而不超過的角)的平分線?如果存在,請直接寫出的值;如果不存在,請說明理由.
【答案】(1)∠MOA=2t;(2)40秒;(3)t的值分別為18、22.5、36、67.5秒.
【解析】
(1)∠AOM的度數(shù)等于OA旋轉速度乘以旋轉時間;
(2)當∠AOB第二次達到60°時,射線OB在OA的左側,根據(jù)∠AOM+∠BON-∠MON=60°列方程求解可得;
(3)射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角的平分線有三種情況:
①OB平分∠AOM時,根據(jù)∠AOM=∠BOM,列方程求解,
②OB平分∠MON時,根據(jù)∠BOM=∠MON,列方程求解,
③OB平分∠AON時,根據(jù)∠BON=∠AON,列方程求解.
(1)由題意得:∠MOA=2t;
(2)如圖,
根據(jù)題意知:∠AOM=2t,∠BON=4t,
當∠AOB第二次達到60°時,∠AOM+∠BON-∠MON=60°,
即2t+4t-180=60,解得:t=40,
故t=40秒時,∠AOB第二次達到60°;
(3)射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角的平分線有以下三種情況:
①OB平分∠AOM時,
∵∠AOM=∠BOM,
∴t=180-4t,
解得:t=36;
②OB平分∠MON時,
∵∠BOM=∠MON,即∠BOM=90°,
∴4t=90,或4t-180=90,
解得:t=22.5,或t=67.5;
③OB平分∠AON時,
∵∠BON=∠AON,
∴4t=(180-2t),
解得:t=18;
綜上,當t的值分別為18、22.5、36、67.5秒時,射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角的平分線.
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【題目】如圖1,以邊長為8的正方形紙片ABCD的邊AB為直徑作⊙O,交對角線AC于點E.
(1)線段AE=____________;
(2)如圖2,以點A為端點作∠DAM=30°,交CD于點M,沿AM將四邊形ABCM剪掉,使Rt△ADM繞點A逆時針旋轉(如圖3),設旋轉角為α(0°<α<150°),旋轉過程中AD與⊙O交于點F.
①當α=30°時,請求出線段AF的長;
②當α=60°時,求出線段AF的長;判斷此時DM與⊙O的位置關系,并說明理由;
③當α=___________°時,DM與⊙O相切。
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【題目】先閱讀下面的文字,然后按要求解題:
例:1+2+3+ … +100=?
如果一個一個順次相加顯然太繁瑣,我們仔細分析這100個連續(xù)自然數(shù)的規(guī)律和特點,可以發(fā)現(xiàn)運用加法運算律,是可以大大簡化計算,提高運算速度的.
因為1+100=2+99=3+98= … =50+51=101
所以將所給算式中各加數(shù)經(jīng)過交換、結合以后,可以很快求出結果.
解:1+2+3+ … +100
=(1+100)+(2+99)+(3+98)+ … +(50+51)
=101×____________
=____________ .
(1)補全例題的解題過程;
(2)計算:
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【題目】如圖所示,用棋子擺成的“上”字:
第一個“上”字 第二個“上”字 第三個“上”字
如果按照以上規(guī)律繼續(xù)擺下去,那么通過觀察,可以發(fā)現(xiàn):
(1)第四、第五個“上”字分別需用 和 枚棋子.
(2)第n個“上”字需用 枚棋子.
(3)如果某一圖形共有102枚棋子,你知道它是第幾個“上”字嗎?
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【題目】“龜兔賽跑”是同學們熟悉的寓言故事.如圖所示,表示了寓言中的龜、兔的路程S和時間t的關系(其中直線段表示烏龜,折線段表示兔子).下列敘述正確的是( )
A. 賽跑中,兔子共休息了50分鐘
B. 烏龜在這次比賽中的平均速度是0.1米/分鐘
C. 兔子比烏龜早到達終點10分鐘
D. 烏龜追上兔子用了20分鐘
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【題目】如圖,在四邊形AECF中,.CE、CF分別是△ABC的內,外角平分線.
(1)求證:四邊形AECF是矩形.
(2)當△ABC滿足什么條件時,四邊形AECF是正方形?請說明理由.
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【題目】如圖,菱形ABCD的對角線相交于點O,AC=2,BD=2,將菱形按如圖方式折疊,使點B與點O重合,折痕為EF,則五邊形AEFCD的周長為_____________
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【題目】如圖,正方形OABC∽正方形ODEF,它們是以原點O為位似中心的位似圖形,位似比為1: , 點A的坐標為(0,1),則點E的坐標是________或________.
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【題目】古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1,3,6,10…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”,而把1,4,9,16…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”.從圖中可以發(fā)現(xiàn),任何一個大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個相鄰“三角形數(shù)”之和.下列等式中,符合這一規(guī)律的是( 。
A.13=3+10B.25=9+16C.36=15+21D.49=18+31
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