Question

【題目】已知拋物線：y＝a(x－m)2－a(x－m)（a、m為常數(shù)，且a≠0）．

（1）求證：不論a與m為何值，該拋物線與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；

（2）設(shè)該拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)度是否與a、m的大小有關(guān)系？若無(wú)關(guān)系，求出它的長(zhǎng)度；若有關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）在（2）的條件下，若拋物線的頂點(diǎn)為C，當(dāng)△ABC的面積等于1時(shí)，求a的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）1；（3）±8

【解析】（1）通過(guò)提公因式法，對(duì)函數(shù)的解析式變形，然后構(gòu)成方程求解出交點(diǎn)的坐標(biāo)即可；

（2）根據(jù)第一問(wèn)的交點(diǎn)坐標(biāo)得到AB的長(zhǎng)，判斷出AB的長(zhǎng)與a、m無(wú)關(guān)；

（3）通過(guò)配方法得到函數(shù)的頂點(diǎn)式，然后根據(jù)三角形的面積公式求解即可.

（1）由y＝a(x－m)2－a(x－m)＝a(x－m)( x－m－1)，得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(m,0)和(m＋1,0)．因此不論a與m為何值，該拋物線與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)．（也可用判別式Δ做）

（2）線段AB的長(zhǎng)度與a、m的大小無(wú)關(guān)。由（1）知：A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(m,0)、(m＋1,0)，因此AB的長(zhǎng)度是1。

（3）由y＝a(x－m)2－a(x－m)=，得拋物線的頂點(diǎn)為，

因?yàn)锳B＝1，S△ABC＝，a＝±8．