Question

20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（-3，0）兩點，與y軸交于點C．拋物線的頂點為D，點P是拋物線的對稱軸上的一動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若∠APD=∠ACB，求點P的坐標(biāo)；
（3）探究，是否存在同時與直線BC和x軸都相切的⊙P？若存在，請求出⊙P的半徑及圓心坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值；
（2）根據(jù)（1）得到的函數(shù)解析式，可求出D、C的坐標(biāo)；易證得△OBC是等腰Rt△，若過A作BC的垂線，設(shè)垂足為E，在Rt△ABE中，根據(jù)∠ABE的度數(shù)及AB的長即可求出AE、BE、CE的長；連接AC，設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為F，若∠APD=∠ACB，那么△AEC與△AFP，根據(jù)得到的比例，即可求出PF的長，也就求得了P點的坐標(biāo)；
（3）存在同時與直線OM和x軸都相切的⊙P，分兩種情況：①當(dāng)點P₁在∠CBO的平分線上時，②當(dāng)點P₂在∠CBO鄰補(bǔ)角的平分線上時，進(jìn)行討論即可求解．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A（-1，0），B（-3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{-9-3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為y=-x²-4x-3．

（2）由y=-x²-4x-3，
可得D（-2，1），C（0，-3），
∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2，
可得△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，CB=3$\sqrt{2}$，
如圖1，設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點F，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB=1，
過點A作AE⊥BC于點E，
∴∠AEB=90°，
可得BE=AE=$\sqrt{2}$，CE=2$\sqrt{2}$，
在△AEC與△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，
∴△AEC∽△AFP，
∴$\frac{AE}{AF}$=$\frac{CE}{PF}$，$\frac{\sqrt{2}}{1}$=$\frac{2\sqrt{2}}{PF}$，
解得PF=2，
∵點P在拋物線的對稱軸上，
∴點P的坐標(biāo)為（-2，2）或（-2，-2）；

（3）存在同時與直線OM和x軸都相切的⊙P，
理由如下：①如圖2，當(dāng)點P₁在∠CBO的平分線上時，過P₁點作P₁M⊥BE于M點，
設(shè)⊙P₁的半徑P₁F=r₁，則P₁M=r₁，PE=1-r₁，
根據(jù)切線長定理：BM=BF=1，
∴ME=BE-BM=$\sqrt{2}$-1，
在Rt△P₁ME中，P₁M²+ME²=P₁E²，即r₁²+（$\sqrt{2}$-1）²=（r₁-1）²，
解得r₁=$\sqrt{2}$-1．
∴P₁的坐標(biāo)為（-2，1-$\sqrt{2}$）；
②如圖2，當(dāng)點P₂在∠CBO鄰補(bǔ)角的平分線上時，過P₂點作P₂N⊥BC于N點，
設(shè)⊙P₂的半徑P₂F=r，則P₂N=r₂，P₂E=1+r₂，
根據(jù)切線長定理：BN=BF=1，
∴NE=BE+BN=$\sqrt{2}$+1，
在Rt△P₂ME中，P₂M²+ME²=P₂E²，即r₂²+（$\sqrt{2}$+1）²=（1+r₂）²，
解得r₂=1+$\sqrt{2}$．
∴P₂的坐標(biāo)為（-2，1+$\sqrt{2}$）；
綜上所述，⊙P₁的半徑r₁=$\sqrt{2}$-1，圓心P₁的坐標(biāo)為（-2，1-$\sqrt{2}$）或半徑r₂=$\sqrt{2}$+1，圓心P₂的坐標(biāo)為（-2，1+$\sqrt{2}$）時，⊙P同時與直線BC和x軸都相切．

點評 此題考查了二次函數(shù)綜合題，關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)、函數(shù)圖象交點及圖形面積的求法等知識，以及方程思想和分類思想的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度較大．