Question

15．如圖所示，正方形ABCD的邊長等于2，它繞頂點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形A′BC′D′．在這個旋轉(zhuǎn)過程中：
①旋轉(zhuǎn)中心是什么？
②若旋轉(zhuǎn)角為45°，邊CD與A′D′交于F，求DF的長度．

Answer 1

分析 ①將正方形繞頂點B旋轉(zhuǎn)，故旋轉(zhuǎn)中心為B點；
②由正方形的性質(zhì)可知∠ABD=45°，由旋轉(zhuǎn)角為45°可知∠ABA′=45°，從而可知點B、A′、D三點在一條直線上，先利用勾股定理求得BD的長，從而可求得A′D的長，在Rt△A′DF中利用勾股定理可求得DF的長度．

解答 解：①旋轉(zhuǎn)中心為B點．
②如圖所示：

∵旋轉(zhuǎn)角為45°，
∴∠ABA′=45°．
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ABD=45°，∠A′DF=45°．
∴∠ABA′=∠ABD．
∴點B、A′、D三點在一條直線上．
在Rt△ABD中，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∵A′D=BD-BA′，
∴A′D=2$\sqrt{2}$-2．
在Rt△A′DF中，DF=$\sqrt{A′{D}^{2}+A′{F}^{2}}$=4-2$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查的是正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，依據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證得點B、A′、D三點在一條直線上，從而求得A′D的長度是解題的關(guān)鍵．