Question

【題目】已知正多邊形每個內(nèi)角比相鄰外角大60°．

（1）求這個正多邊形的邊數(shù)；

（2）求這個正多邊形的內(nèi)切圓與外切圓的半徑之比；

（3）將這個多邊形對折，并完全重合，求得到圖形的內(nèi)角和是多少度（按一層計算）？

Answer 1

【答案】（1）這個正多邊形的邊數(shù)是六；（2）這個正多邊形的內(nèi)切圓和外接圓的半徑之比是 ；（3）得到圖形的內(nèi)角和是360°或540°

【解析】

（1）可根據(jù)正多邊形的一個內(nèi)角與外角互補可得外角的度數(shù)，用 360°除以一個外角的度數(shù)即為多邊形的邊數(shù)；

（2）從內(nèi)切圓的圓心和外接圓的圓心向三角形的邊引垂線，構(gòu)建直角三角形，解三角形即可；

（3）由于正六邊形有2種對稱軸，可按這兩種對稱軸分別折疊計算．

（1）設(shè)正多邊形的外角為x°，則內(nèi)角為（180﹣x）°，根據(jù)題意得：

180﹣x﹣x=60

解得：x=60．

故正多邊形的外角為60°，邊數(shù)=360°÷60°=6．

答：這個正多邊形的邊數(shù)為六．

（2）設(shè)正六邊形的外接圓的半徑為r，內(nèi)切圓的半徑是正六邊形的邊心距，因而是r，因而正六邊形的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑之比為：2．

（3）當沿過兩個端點的對稱軸所在的直線折疊時，得到的圖形是四邊形，內(nèi)角和是（4﹣2）×180°=360°；

當沿對邊中點所在的直線折疊時，得到的圖形是五邊形，內(nèi)角和是（5﹣2）×180°=540°．

綜上所述：得到圖形的內(nèi)角和是360°或540°．