【題目】問題提出;
(1)如圖1,矩形ABCD,AB=4,BC=8,點(diǎn)E為CD的中點(diǎn),點(diǎn)P為BC上的動(dòng)點(diǎn),CP= 時(shí),△APE的周長(zhǎng)最。
(2)如圖2,矩形ABCD,AB=4,BC=8,點(diǎn)E為CD的中點(diǎn),點(diǎn)P、點(diǎn)Q為BC上的動(dòng)點(diǎn),且PQ=2,當(dāng)四邊形APQE的周長(zhǎng)最小時(shí),請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置(即BP的長(zhǎng))
問題解決;
(3)如圖3,某公園計(jì)劃在一片足夠大的等邊三角形水域內(nèi)部(不包括邊界)點(diǎn)P處修一個(gè)涼亭,設(shè)計(jì)要求PA長(zhǎng)為100米,同時(shí)點(diǎn)M,N分別是水域AB,AC邊上的動(dòng)點(diǎn),連接P、M、N的水上浮橋周長(zhǎng)最小時(shí),四邊形AMPN的面積最大,請(qǐng)你幫忙算算此時(shí)四邊形AMPN面積的最大值是多少?
【答案】(1);(2)BP=4;(3)平方米.
【解析】
(1)延長(zhǎng)AB到M,使BM=AB,則A和M關(guān)于BC對(duì)稱,連接EM交BC于P,此時(shí)AP+EP的值最小,根據(jù)勾股定理求出AE長(zhǎng),根據(jù)矩形性質(zhì)得出AB∥CD,推出△ECP∽△MBP,得出比例式,代入即可求出CP長(zhǎng);
(2)點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位到M,點(diǎn)E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)F,連接MF,交BC于Q,要使四邊形APQE的周長(zhǎng)最小,只要AP+EQ最小就行,證△MNQ∽△FCQ即可求BP的長(zhǎng);
(3)作點(diǎn)P關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G,作點(diǎn)P關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)H,連接GH,交AB,AC于點(diǎn)M,N,此時(shí)△PMN的周長(zhǎng)最。S四邊形AMPN=S△AGM+S△ANH=S△AGH-S△AMN,即S△AMN的值最小時(shí),S四邊形AMPN的值最大.
解:(1):∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠D=90°=∠ABC,AB=CD=4,BC=AD=8,
∵E為CD中點(diǎn),
∴DE=CE=2,
在Rt△ADE中,由勾股定理得:AE===2,
即△APE的邊AE的長(zhǎng)一定,
要△APE的周長(zhǎng)最小,只要AP+PE最小即可,
延長(zhǎng)AB到M,使BM=AB=4,則A和M關(guān)于BC對(duì)稱,
連接EM交BC于P,此時(shí)AP+EP的值最小,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,
∴△ECP∽△MBP,
∴
∴
∴CP=
故答案為:
(2)點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位到M,點(diǎn)E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)F,連接MF,交BC于Q,
此時(shí)MQ+EQ最小,
∵PQ=3,DE=CE=2,AE=2,
∴要使四邊形APQE的周長(zhǎng)最小,只要AP+EQ最小就行,
即AP+EQ=MQ+EQ,過M作MN⊥BC于N,
∴MN∥CD
∴△MNQ∽△FCQ,
∴
∴
∴NQ=4
∴BP=BQ﹣PQ=4+2﹣2=4
(3)如圖,作點(diǎn)P關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G,作點(diǎn)P關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)H,連接GH,交AB,AC于點(diǎn)M,N,此時(shí)△PMN的周長(zhǎng)最。
∴AP=AG=AH=100米,∠GAM=∠PAM,∠HAN=∠PAN,
∵∠PAM+∠PAN=60°,
∴∠GAH=120°,且AG=AH,
∴∠AGH=∠AHG=30°,
過點(diǎn)A作AO⊥GH,
∴AO=50米,HO=GO=50米,
∴GH=100米,
∴S△AGH=GH×AO=2500平方米,
∵S四邊形AMPN=S△AGM+S△ANH=S△AGH﹣S△AMN,
∴S△AMN的值最小時(shí),S四邊形AMPN的值最大,
∴MN=GM=NH=時(shí)
∴S四邊形AMPN=S△AGH﹣S△AMN=2500﹣=平方米.
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的y與x的部分對(duì)應(yīng)值如表:則下列判斷中正確的是( )
x | … | ﹣1 | 0 | 1 | 3 | … |
y | … | ﹣3 | 1 | 3 | 1 | … |
A. 拋物線開口向上B. 拋物線與y軸交于負(fù)半軸
C. 當(dāng)x=4時(shí),y>0D. 方程ax2+bx+c=0的正根在3與4之間
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【題目】如圖,已知點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(4,0),(3,2).
(1)畫出△AOB關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的圖形△COD;
(2)將△AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△EOF,畫出△EOF;
(3)點(diǎn)D的坐標(biāo)是 ,點(diǎn)F的坐標(biāo)是 ,此圖中線段BF和DF的關(guān)系是 .
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【題目】如圖,一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A(1,4),B(4,n)兩點(diǎn).
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)直接寫出當(dāng)x>0時(shí),的解集.
(3)點(diǎn)P是x軸上的一動(dòng)點(diǎn),試確定點(diǎn)P并求出它的坐標(biāo),使PA+PB最。
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【題目】為了解某中學(xué)去年中招體育考試中女生”一分鐘跳繩”項(xiàng)目的成績(jī)情況,從中抽取部分女生的成績(jī),繪制出如圖所示的頻數(shù)分布直方圖(從左到右依次為第一組到第六組,每小組含最小值,不含最大值)和扇形統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)下列統(tǒng)計(jì)圖中提供的信息解決下列問題
(1)本次抽取的女生總?cè)藬?shù)為 第六小組人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比為 請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(2)題中樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在第 組內(nèi);
(3)若“一分鐘跳繩”不低于130次的成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀,這個(gè)學(xué)校九年級(jí)共有女生560人,請(qǐng)估計(jì)該校九年級(jí)女生“一分鐘跳繩”成績(jī)的優(yōu)秀人數(shù).
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,A(1,2),B(3,4),C(4,1),連接AB、BC、CA,平移△ABC得到△DEF,其中A點(diǎn)與D點(diǎn)對(duì)應(yīng),B點(diǎn)與E點(diǎn)對(duì)應(yīng),C點(diǎn)與F點(diǎn)對(duì)應(yīng)。
(1)使E與A重合,畫出△DEF,并寫出F的坐標(biāo);
(2)若將△ABC向左平移個(gè)單位,使得到的△DEF的頂點(diǎn)D、F分別位于軸兩側(cè),求的取值范圍。
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【題目】菱形ABCD中,∠B=60°,AB=5,以AC為邊長(zhǎng)作正方形ACFE,則點(diǎn)D到EF的距離為_____.
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【題目】如圖,在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中,點(diǎn)A,B,C,D都在這些小正方形的格點(diǎn)上,AB,CD相交于點(diǎn)E,則sin∠AEC的值為(。
A. B. C. D.
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