Question

如圖，正方形OABC的頂點O的坐標原點，點A的坐標為（4，3），點B的橫坐標為1．
（1）求直線OA和AB的解析式；
（2）現(xiàn)有動點P、O分別從C、A同時出發(fā)，點P沿線段CB向終點B運動，速度為每秒1個單位，點O沿折線A→O→C向終點C運動，速度為每秒k個單位，設運動時間為2秒．問當k為可值時，將△CPQ沿它的一邊翻折，使得翻折前后的兩個三角形組成的四邊形為菱形？

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）應用勾股定理先求得B點的坐標，然后利用待定系數(shù)法即可求得．
（2）有兩種情況：①Q(mào)在OA上，則CQ=PQ時能構(gòu)成菱形，根據(jù)題意列出2k=4即可求得；②Q點在OC上，則PC=QC時才能構(gòu)成菱形，根據(jù)題意列出2k=8即可求得；

解答：解；（1）∵A（4，3），
∴OA=

32+42

=5，
設直線OA的解析式為y=kx，
∴3=4k，解得k=

3

4

，
∴直線OA的解析式y(tǒng)=

3

4

x，
∵AB=OA=5，B點的橫坐標為1，設B（1，n），
∴AB²=（4-1）²+（n-3）²，即5²=（4-1）²+（n-3）²，
解得：n=7，n=-1（舍去），
∴B（1，7），
∵四邊形OABC 是正方形，
∴設直線AB的解析式為y=-

4

3

x+b，
∴7═-

4

3

×1+b，解得b=

25

3

，
∴直線AB的解析式為y=-

4

3

x+

25

3

；
（2）有兩種情況：
①Q(mào)在OA上，則CQ=PQ時能構(gòu)成菱形，
∵PC=2，
∴AQ=4時才能構(gòu)成CQ=PQ的等腰三角形，
∴2k=4，解得k=2，
②Q點在OC上，∵∠PCQ是直角，
∴只有沿這PQ邊對折才能構(gòu)成菱形，且PC=QC，
∵PC=2，
∴QC=2，
∴2k=OA+OC-QC=5+5-2=8，
∴k=4，
∴當k=2或k=4時將△CPQ沿它的一邊翻折，使得翻折前后的兩個三角形組成的四邊形為菱形．

點評：本題看出來待定系數(shù)法求解析式，應用勾股定理求線段的長，菱形的性質(zhì)等，分類討論是解本題的關(guān)鍵．