Question

9．如圖，點(diǎn)A（2，n）在反比例函數(shù)y=$\frac{3}{x}$的圖象上，點(diǎn)B在第二象限，∠AOB=90°，∠OBA=30°，在小組合作學(xué)習(xí)中，四位同學(xué)發(fā)現(xiàn)并提出了以下四個(gè)結(jié)論，其中正確的有（　�。﹤�(gè)．
聰聰：在反比例函數(shù)y=$\frac{3}{x}$的圖象上任取一個(gè)點(diǎn)P，作兩坐標(biāo)軸的垂線，則它們與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形面積為3；
明明：若直線OA的函數(shù)解析式為y=kx，則不等式$\frac{3}{x}$＞kx的解集為0＜x＜2；
智智：過(guò)點(diǎn)B的反比例函數(shù)的解析式為y=-$\frac{3\sqrt{3}}{x}$；
慧慧：若點(diǎn)D（2+$\frac{3}{2}\sqrt{3}$，$\frac{3}{2}-2\sqrt{3}$），則以點(diǎn)A，O，B，D為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可知聰聰?shù)脑?huà)正確；由反比例函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可找出直線OA與反比例函數(shù)的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖象可得出不等式$\frac{3}{x}$＞kx的解集，從而判斷出明明的話(huà)不正確；由點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=$\frac{3}{x}$的圖象上，可求出n的值，從而得出A點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，y），結(jié)合給定的邊角關(guān)系可找出關(guān)于x、y的二元二次方程組，結(jié)合點(diǎn)B的位置可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出過(guò)點(diǎn)B的反比例函數(shù)的解析式為y=-$\frac{9}{x}$，由此得出智智的話(huà)不正確；由A、O、B、D的坐標(biāo)特征，可得出DA⊥OA，即OB∥DA，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式得出OB=DA，由此判斷出以點(diǎn)A，O，B，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，即慧慧的話(huà)正確．綜上即可得出結(jié)論．

解答 解：∵在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象中任取一點(diǎn)，過(guò)這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|，
∴聰聰?shù)脑?huà)正確；
∵點(diǎn)A（2，n），反比例函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知：
在第三象限直線OA與反比例函數(shù)y=$\frac{3}{x}$有另一個(gè)交點(diǎn)（-2，-n），
結(jié)合函數(shù)圖象可知：不等式$\frac{3}{x}$＞kx的解集為x＜-2，或0＜x＜2，
∴明明的話(huà)不正確；
∵點(diǎn)A（2，n）在反比例函數(shù)y=$\frac{3}{x}$的圖象上，
∴n=$\frac{3}{2}$，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，$\frac{3}{2}$）．
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，y），過(guò)點(diǎn)B的反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{m}{x}$，
則OA=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，OB=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{OA}{cot∠OBA}$=$\frac{5}{2}\sqrt{3}$，
結(jié)合已知可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y}{x}•\frac{3}{4}=-1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=\frac{75}{4}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3\sqrt{3}}{2}}\\{y=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，2$\sqrt{3}$）．
∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象上，
∴2$\sqrt{3}$=$\frac{m}{-\frac{3\sqrt{3}}{2}}$，解得：m=-9．
∴過(guò)點(diǎn)B的反比例函數(shù)的解析式為y=-$\frac{9}{x}$，
∴智智的話(huà)不正確；
∵$\frac{\frac{3}{2}-（\frac{3}{2}-2\sqrt{3}）}{2-（2+\frac{3}{2}\sqrt{3}）}$=-$\frac{4}{3}$，-$\frac{4}{3}$×$\frac{\frac{3}{2}}{2}$=-1，
∴DA⊥OA，
∴AD∥BO．
∵AD=$\sqrt{（2+\frac{3}{2}\sqrt{3}-2）^{2}+（\frac{3}{2}-2\sqrt{3}-\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}\sqrt{3}$=OB，
∴以點(diǎn)A，O，B，D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，
∴以點(diǎn)A，O，B，D為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形，
即慧慧的話(huà)正確．
綜上可知：聰聰和慧慧的話(huà)正確．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、兩直線垂直的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式以及平行四邊形的判定定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)給定條件逐條分析四種說(shuō)法．本題屬于中檔題，難度不大，但非常繁瑣，尤其在斷定智智慧慧的話(huà)時(shí)，結(jié)合了多項(xiàng)知識(shí)點(diǎn)才得出結(jié)論，因此在日常的練習(xí)中，應(yīng)加強(qiáng)知識(shí)間聯(lián)系的練習(xí)．