Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正比例函數(shù)y=10x與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$交于點A，點A的橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象上有一點B，過點B作BC∥x軸，過點A作AC⊥BC，垂足為點C．
（1）求k的值；
（2）已知點B在AC的右側(cè)，若△ABC的面積為4，求直線AB的解析式．

Answer 1

分析 （1）把x=$\frac{1}{2}$時代入y=10x求得A（$\frac{1}{2}$，5），把A（$\frac{1}{2}$，5）代入y=$\frac{k}{x}$即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{5}{2x}$ 設(shè)B（a，$\frac{5}{2a}$），根據(jù)已知條件得到BC=a-$\frac{1}{2}$，AC=5-$\frac{5}{2a}$，由△ABC的面積為4列方程得到B（$\frac{5}{2}$，1），根據(jù)待定系數(shù)法即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時，y=10x=5，
∴A（$\frac{1}{2}$，5），
把A（$\frac{1}{2}$，5）代入y=$\frac{k}{x}$得；k=$\frac{5}{2}$；

（2）∵k=$\frac{5}{2}$，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{5}{2x}$，
∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象上有一點B，
∴設(shè)B（a，$\frac{5}{2a}$），
∵BC∥x軸，過點A作AC⊥BC，
∴BC=a-$\frac{1}{2}$，AC=5-$\frac{5}{2a}$，
∵△ABC的面積為4，
∴$\frac{1}{2}$（a-$\frac{1}{2}$）（5-$\frac{5}{2a}$）=4，
∴a=$\frac{5}{2}$，a=$\frac{1}{10}$（不合題意，舍去），
∴B（$\frac{5}{2}$，1），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}k+b=5}\\{\frac{5}{2}k+b=1}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-2x+6．

點評 此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，一次函數(shù)與x軸的交點，以及待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．