Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)y＝a（x+3）（x﹣1）（a＞0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．

（1）求點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）若a＝，點(diǎn)M是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，若滿(mǎn)足∠MAO不大于45°，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)m的取值范圍．

（3）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)l：y＝kx+b與y軸正半軸交于點(diǎn)C．與拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，且CD＝4BC．若點(diǎn)P在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上，點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)上，以點(diǎn)B，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0），B（1，0）；（2）M（4，7）；﹣2≤m≤4；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（﹣1，4）或（﹣1，）．

【解析】

（1）y＝a（x+3）（x﹣1）,令y＝0,則x＝1或﹣3,即可求解;

（2）分∠MAO=45°,∠M′AO=45°兩種情況,分別求解即可;

（3）分當(dāng)BD是矩形的邊, BD是矩形的邊兩種情況,分別求解即可．

（1）y＝a（x+3）（x﹣1）,令y＝0,則x＝1或﹣3,

故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（﹣3，0）,（1，0）;

（2）拋物線(xiàn)的表達(dá)式為:y＝（x+3）（x﹣1）①,

當(dāng)∠MAO＝45°時(shí),如圖所示,則直線(xiàn)AM的表達(dá)式為:y＝x②,

聯(lián)立①②并解得:m＝x＝4或﹣3（舍去﹣3）,故點(diǎn)M（4,7）;

②∠M′AO＝45°時(shí),

同理可得:點(diǎn)M（﹣2,﹣1）;

故:﹣2≤m≤4;

（3）①當(dāng)BD是矩形的對(duì)角線(xiàn)時(shí),如圖2所示,

過(guò)點(diǎn)Q作x軸的平行線(xiàn)EF,過(guò)點(diǎn)B作BE⊥EF,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥EF,

拋物線(xiàn)的表達(dá)式為:y＝ax2+2ax﹣3a,函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為:x＝1,

拋物線(xiàn)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為:（﹣3,0）、（1，0）,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為:1,OB＝1,

而CD＝4BC,則點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為：﹣4,故點(diǎn)D（﹣4,5a）,即HD＝5a,

線(xiàn)段BD的中點(diǎn)K的橫坐標(biāo)為:,則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為:﹣2,

則點(diǎn)Q（﹣2,﹣3a）,則HF＝BE＝3a,

∵∠DQF+∠BQE＝90°,∠BQE+∠QBE＝90°,

∴∠QBE＝∠DQF,

∴△DFQ∽△QEB,則,,解得:a＝（舍去負(fù)值）,

同理△PGB≌△DFQ（AAS）,

∴PG＝DF＝8a＝4,故點(diǎn)P（﹣1,4）;

②如圖3,當(dāng)BD是矩形的邊時(shí),

作DI⊥x軸,QN⊥x軸,過(guò)點(diǎn)P作PL⊥DI于點(diǎn)L,

同理△PLD≌△BNQ（AAS）,

∴BN＝PL＝3,

∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為4,則點(diǎn)Q（4,21a）,

則QN＝DL＝21a,同理△PLD∽△DIB,

∴,即,解得:a＝（舍去負(fù)值），

LI＝26a＝,故點(diǎn)P（﹣1, ）;

綜上,點(diǎn)P的坐標(biāo)為:P（﹣1,4）或（﹣1, ）．