【題目】如圖,兩塊大小不等的等腰直角三角形按圖1放置,點(diǎn)為直角頂點(diǎn),點(diǎn)在上,將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)角度,連接、.
(1)若,則當(dāng) 時,四邊形是平行四邊形;
(2)圖2,若于點(diǎn),延長交于點(diǎn),求證:是的中點(diǎn);
(3)圖3,若點(diǎn)是的中點(diǎn),連接并延長交于點(diǎn),求證:.
【答案】(1)時,四邊形是平行四邊形;(2)見解析;(3)見解析.
【解析】
(1)當(dāng)AC∥DE時,因?yàn)?/span>AC=DE,推出四邊形ACDE是平行四邊形,利用平行四邊形的性質(zhì)即可解決問題.
(2)如圖2中,作DM⊥FM于M,BN⊥FM交FM的延長線于N.利用全等三角形的性質(zhì)證明BN=DM,再證明△BNG≌△DMG(AAS)即可解決問題.
(3)如圖3中,延長CM到K,使得MK=CM,連接AK.KM.想辦法證明△BCD≌△CAK(SAS),即可解決問題.
(1)解:如圖1-1中,連接AE.
當(dāng)AC∥DE時,∵AC=DE,
∴四邊形ACDE是平行四邊形,
∴∠ACE=∠CED,
∵CE=CD,∠ECD=90°,
∴∠CED=45°,
∴α=∠ACE=45°.
故答案為45.
(2)證明:如圖2中,作DM⊥FM于M,BN⊥FM交FM的延長線于N.
∵CF⊥AE,DM⊥FM,
∴∠CFE=∠CMD=∠ECD=90°,
∴∠ECF+∠CEF=90°,∠ECF+∠DCM=90°,
∴∠CEF=∠DCM,∵CE=CD,
∴△CFE≌△DMC(AAS),
∴DM=CF,
同法可證:CF=BN,
∴BN=DM,
∵BN⊥FM,
∴∠N=∠DMG=90°,
∵∠BGN=∠DGM,
∴△BNG≌△DMG(AAS),
∴BG=DG,
∴點(diǎn)G是BD的中點(diǎn).
(3)證明:如圖3中,延長CM到K,使得MK=CM,連接AK.KM.
∵AM-ME,CM=MK,
∴四邊形ACEK是平行四邊形,
∴AK=CE=CD,AK∥CE,
∴∠KAC+∠ACE=180°,
∵∠ACE+∠BCD=180°,
∴∠BCD=∠KAC,
∵CA=CB,CD=AK,
∴△BCD≌△CAK(SAS),
∵∠ACK=∠CBD,
∵∠ACK+∠BCN=90°,
∴∠CBD+∠BCN=90°,
∴∠CNB=90°,
∴CN⊥BD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)求作:∠A的平分線AD,AD交BC于點(diǎn)D;(保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)若點(diǎn)D恰好在線段AB的垂直平分線上,求∠A的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】材料一:如圖1,由課本91頁例2畫函數(shù)y=﹣6x與y=﹣6x+5可知,直線y=﹣6x+5可以由直線y=﹣6x向上平移5個單位長度得到由此我們得到正確的結(jié)論一:在直線L1:y=K1x+b1與直線L2:y=K2x+b2中,如果K1=K2 且b1≠b2 ,那么L1∥L2,反過來,也成立.
材料二:如圖2,由課本92頁例3畫函數(shù)y=2x﹣1與y=﹣0.5x+1可知,利用所學(xué)知識一定能證出這兩條直線是互相垂直的.由此我們得到正確的結(jié)論二:在直線L1:y=k1x+b1 與L2:y=k2x+b2 中,如果k1·k2=-1那么L1⊥L2,反過來,也成立
應(yīng)用舉例
已知直線y=﹣x+5與直線y=kx+2互相垂直,則﹣k=﹣1.所以k=6
解決問題
(1)請寫出一條直線解析式______,使它與直線y=x﹣3平行.
(2)如圖3,點(diǎn)A坐標(biāo)為(﹣1,0),點(diǎn)P是直線y=﹣3x+2上一動點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到何位置時,線段PA的長度最小?并求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“食品安全”受到全社會的廣泛關(guān)注,我市某中學(xué)對部分學(xué)生就食品安全知識的了解程度,采用隨機(jī)抽樣調(diào)查的方式,并根據(jù)收集到的信息進(jìn)行統(tǒng)計,繪制了下面的兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖,請你根據(jù)統(tǒng)計圖中所提供的信息解答下列問題:
(1)接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有_________人,扇形統(tǒng)計圖中“基本了解”部分所對應(yīng)扇形的圓心角為_________度;
(2)請補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(3)若該中學(xué)共有學(xué)生900人,請根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果,估計該中學(xué)學(xué)生中對校園安全知識達(dá)到“了解”和“基本了解”程度的總?cè)藬?shù);
扇形統(tǒng)計圖 條形統(tǒng)計圖
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一輛出租車從A地出發(fā),在一條東西走向的街道上往返,每次行駛的路程(記向東為正)記錄如下(x>6且x<14,單位km)
(1)這輛出租車第三次行駛完后在離出發(fā)點(diǎn)的 方向;經(jīng)過連續(xù)4次行駛后,這輛車所在的位置 (結(jié)果用表示);
(2)這輛出租車一共行駛了多少路程(結(jié)果用表示);當(dāng)x=8時,出租車行駛的路程是多少 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,甲、乙二人沿著邊長為90 m的正方形行走,按A→B→C→D→A…方向,甲從點(diǎn)A出發(fā)以70 m/min的速度行走,乙從點(diǎn)B出發(fā)以82 m/min的速度行走,當(dāng)乙第一次追上甲時,在正方形的哪一條邊上?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知一張長方形紙片,().將這張紙片沿著過點(diǎn)的折痕翻折,使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn),折痕交于點(diǎn),將折疊后的紙片再次沿著另一條過點(diǎn)的折痕翻折,點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合,此時折痕交于點(diǎn).
(1)在圖中確定點(diǎn)、點(diǎn)和點(diǎn)的位置;
(2)聯(lián)結(jié),則______;
(3)用含有的代數(shù)式表示線段的長.(注:直角三角形中,兩直角邊的平方的和等于斜邊的平方)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知n邊形的內(nèi)角和θ=(n﹣2)×180°.
(1)甲同學(xué)說,θ能取900°;而乙同學(xué)說,θ也能取800°.甲、乙的說法對嗎?若對,求出邊數(shù)n.若不對,說明理由;
(2)若n邊形變?yōu)椋?/span>n+x)邊形,發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了540°,用列方程的方法確定x.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料,完成任務(wù):
自相似圖形
定義:若某個圖形可分割為若干個都與它相似的圖形,則稱這個圖形是自相似圖形.例如:正方形ABCD中,點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊的中點(diǎn),連接EG,HF交于點(diǎn)O,易知分割成的四個四邊形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均為正方形,且與原正方形相似,故正方形是自相似圖形.
任務(wù):
(1)圖1中正方形ABCD分割成的四個小正方形中,每個正方形與原正方形的相似比為 ;
(2)如圖2,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,小明發(fā)現(xiàn)△ABC也是“自相似圖形”,他的思路是:過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D,則CD將△ABC分割成2個與它自己相似的小直角三角形.已知△ACD∽△ABC,則△ACD與△ABC的相似比為 ;
(3)現(xiàn)有一個矩形ABCD是自相似圖形,其中長AD=a,寬AB=b(a>b).
請從下列A、B兩題中任選一條作答:我選擇 題.
A:①如圖3﹣1,若將矩形ABCD縱向分割成兩個全等矩形,且與原矩形都相似,則a= (用含b的式子表示);
②如圖3﹣2若將矩形ABCD縱向分割成n個全等矩形,且與原矩形都相似,則a= (用含n,b的式子表示);
B:①如圖4﹣1,若將矩形ABCD先縱向分割出2個全等矩形,再將剩余的部分橫向分割成3個全等矩形,且分割得到的矩形與原矩形都相似,則a= (用含b的式子表示);
②如圖4﹣2,若將矩形ABCD先縱向分割出m個全等矩形,再將剩余的部分橫向分割成n個全等矩形,且分割得到的矩形與原矩形都相似,則a= (用含m,n,b的式子表示).
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