Question

已知拋物線y=x²-（m²+8）x+2（m²+6）．
（1）求證：無論m取任何實數(shù)，此函數(shù)的圖象都與x軸有兩個交點；
（2）設這個二次函數(shù)的圖象與x軸交于B、C兩點，與y軸交于A點，若△ABC的面積為48，求m的值．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：（1）先計算判別式得到△=[-（m²+8）]²-4×1×2（m²+6）=（m²+4）²，再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得△＞0，然后根據(jù)二次函數(shù)y=ax²+bx+c的交點與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關系即可得到結(jié)論；
（2）先由y=x²-（m²+8）x+2（m²+6）求出A、B、C三點的坐標，得到BC的長度，再根據(jù)△ABC的面積為48列出關于m的方程，解方程即可求出m的值．

解答：（1）證明：△=[-（m²+8）]²-4×1×2（m²+6）=m⁴+8m²+16=（m²+4）²，
∵m²≥0，
∴（m²+4）²＞0，即△＞0，
∴無論取任何實數(shù)，此函數(shù)的圖象都與x軸有兩個交點；

（2）解：∵y=x²-（m²+8）x+2（m²+6），
∴當y=0時，x²-（m²+8）x+2（m²+6）=0，
解得x₁=m²+6，x₂=2，
∴BC=m²+6-2=m²+4．
當x=0時，y=2（m²+6），
∴A點的坐標為（0，2m²+12）．
∵△ABC的面積為48，
∴

1

2

×（m²+4）×（2m²+12）=48，
整理，得m⁴+10m²-24=0，
解得m=±

2

．

點評：本題考查了二次函數(shù)y=ax²+bx+c的交點與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關系，拋物線與坐標軸交點坐標的求法，三角形的面積，難度適中．